Là hệ số tương quan mẫu là một ước lượng không thiên vị của hệ số tương quan dân số?

Có đúng là là một công cụ ước tính không thiên vị cho ? Đó là, $R_{X,Y}$ $\rho_{X,Y}$

E [R_{X, Y}] = ρ_{X, Y} ?

$\mathbf{E}\left[R_{X,Y}\right]=\rho_{X,Y}?$

Nếu không, công cụ ước tính không thiên vị cho gì? (Có lẽ đó là một ước lượng không thiên vị tiêu chuẩn được sử dụng? Ngoài ra, là nó tương tự như phương sai mẫu không thiên vị, mà chúng ta chỉ cần thực hiện việc điều chỉnh đơn giản của nhân phương sai mẫu thiên vị bởi ?) $\rho_{X,Y}$ $\frac{n}{n-1}$

Hệ số tương quan dân số được xác định là trong khi hệ số tương quan mẫu được xác định là

ρ_{X, Y} = \frac{E [(X - μ_{X}) (Y - μ_{Y})]}{\sqrt{E [{(X - μ_{X})}^{2}]} \sqrt{E [{(Y - μ_{Y})}^{2}]}},

$\rho_{X,Y}=\frac{\mathbf{E}\left[\left(X-\mu_{X}\right)\left(Y-\mu_{Y}\right)\right]}{\sqrt{\mathbf{E}\left[\left(X-\mu_{X}\right)^{2}\right]}\sqrt{\mathbf{E}\left[\left(Y-\mu_{Y}\right)^{2}\right]}},$

R_{X, Y} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - \bar{X}) (Y_{i} - \bar{Y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(X_{i} - \bar{X})}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(Y_{i} - \bar{Y})}^{2}}} .

$R_{X,Y}=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)\left(Y_{i}-\bar{Y}\right)}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}}\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(Y_{i}-\bar{Y}\right)^{2}}}.$

correlation

— Kenny LJ
nguồn

Một câu hỏi (hơi giống nhau) về các công cụ ước tính của

ρ

$\rho$ .

— ttnphns

Câu hỏi "công cụ ước lượng không thiên vị" giả định rằng có một và chỉ có một. Một tiên nghiệm , dường như không có bất kỳ lý do để nghĩ rằng.

$\qquad$

— Michael Hardy

@MichaelHardy: Tôi đã sửa nó. Cảm ơn đã chỉ ra.

— Kenny LJ

Chỉ cần stumbled khi chủ đề này, và tôi nghĩ rằng đây có thể là một thú đọc sciencedirect.com/science/article/pii/S0167715298000352 (Tôi vẫn chưa đọc nó bản thân mình tbh)

— martn

Công cụ ước tính không thiên vị tối thiểu: projecteuclid.org/euclid.aoms/1177706717

— Sextus Empiricus

Đây không phải là một câu hỏi dễ dàng nhưng một số biểu thức có sẵn. Nếu bạn đang nói về phân phối Bình thường nói riêng, thì câu trả lời là KHÔNG ! Chúng ta có

E \hat{ρ} = ρ [1 - \frac{(1 - ρ^{2})}{2 n} + O (\frac{1}{n^{2}})]

$\mathbb{E} \widehat{\rho} = \rho \left[1 - \frac{\left(1-\rho^2 \right)}{2n} + O\left( \frac{1}{n^2} \right) \right]$

như đã thấy trong Chương 2 của Lý thuyết ước tính điểm của Lehmann. Có vô số thuật ngữ trong biểu thức trên nhưng về cơ bản chúng tôi đang xem xét các thuật ngữ có thứ tự bằng hoặc thấp hơn không đáng kể. $n^{-2}$

Công thức này cho thấy hệ số tương quan mẫu chỉ là không thiên vị cho , tức là tính độc lập, như người ta mong đợi. Nó cũng không thiên vị cho các trường hợp suy biến với , nhưng điều đó không thú vị lắm. Trong các trường hợp chung, độ lệch sẽ theo thứ tự nhưng khá nhỏ đối với tất cả các cỡ mẫu hợp lý. $\rho = 0$ $|\rho| = 1$ $\frac{1}{n}$

Trong phân phối chuẩn, hệ số tương quan mẫu là mle, có nghĩa là nó không thiên vị. Bạn cũng có thể thấy rằng từ công thức trên dưới dạng . Lưu ý rằng điều này đã xuất phát từ giới hạn và tính nhất quán của hệ số tương quan mẫu thông qua định lý hội tụ giới hạn. $\mathbb{E} \widehat{\rho} \to \rho$

— JohnK
nguồn

Có thể có vô số thuật ngữ trong biểu thức trên, nhưng "thuật ngữ vô hạn" sẽ có một số thuật ngữ, mỗi thuật ngữ là vô hạn.

$\qquad$

— Michael Hardy

Giả sử tất cả các điểm trong một quần thể bivariate nằm trên một đường thẳng có độ dốc khác không. Sau đó, tất cả các điểm trong bất kỳ mẫu cũng làm như vậy. Do đó, tôi phỏng đoán rằng nếu tương quan dân số có giá trị tuyệt đối cũng tương quan mẫu .

| ρ | = 1

$|\rho| = 1$

| r | \equiv 1

$|r| \equiv 1$

— Nick Cox

@NickCox Điều đó đúng, trong trường hợp suy biến, hệ số tương quan mẫu sẽ trả vềkhông có lỗi ước tính.

| 1 |

$|1|$

— JohnK

Đối với một câu hỏi liên quan, có ai biết liệu kết quả tương tự có tồn tại cho bất kỳ phân phối nào khác ngoài 2D thông thường không?

— Riemann1337