Đặt cược của Blackwell

Tôi đã đọc về nghịch lý đặt cược của Blackwell trên tủ Futility . Dưới đây là tóm tắt: bạn được trình bày với hai phong bì, $E_x$ và $E_y$ . Phong bì chứa một lượng tiền ngẫu nhiên, nhưng bạn không biết gì về việc phân phối tiền. Bạn mở một cái, kiểm tra xem có bao nhiêu tiền trong đó ( $x$ ) và phải chọn: lấy phong bì $E_x$ hoặc $E_y$ ?

Futility Closet đề cập đến một nhà toán học tên là Leonard Wapner: Thật bất ngờ, có một việc bạn có thể làm, ngoài việc mở phong bì khác, để cho bản thân tốt hơn thậm chí là có cơ hội làm cho đúng.

Ý tưởng, có vẻ sai đối với tôi, như sau: chọn một số ngẫu nhiên $d$ . Nếu $d < x$ , lấy . Nếu , chọn .$E_x$$d > x$$E_y$

Wapner: Triệu Nếu d rơi giữa x và y thì dự đoán của bạn (như được chỉ ra bởi d) được đảm bảo là chính xác. Giả sử điều này xảy ra với xác suất p. Nếu d giảm ít hơn cả x và y, thì dự đoán của bạn sẽ chỉ đúng trong trường hợp số x bạn chọn là lớn hơn cả hai. Có 50% cơ hội này. Tương tự, nếu d lớn hơn cả hai số, dự đoán của bạn sẽ chỉ đúng nếu số bạn chọn là số nhỏ hơn trong hai số. Điều này cũng xảy ra với xác suất 50%.

Nếu xác suất mà nằm trong lớn hơn 0, thì thành công trung bình của phương pháp này là . Điều này có nghĩa là bằng cách quan sát một biến ngẫu nhiên không liên quan cung cấp cho chúng tôi thông tin bổ sung.$d$$[x,y]$$\frac{1}{2} + \frac{p}{2}$

Tôi nghĩ rằng điều này hoàn toàn sai, và vấn đề nằm ở việc chọn một số ngẫu nhiên. Nó có nghĩa là gì? Giống như, số nguyên nào? Trong trường hợp đó, xác suất mà nằm giữa và là số không, vì cả hai và là hữu hạn.$p$$d$$x$$y$$x$$y$

Nếu chúng ta nói rằng có giới hạn về số tiền tối đa, giả sử hoặc ít nhất là chúng ta chọn d từ , thì công thức sẽ rút ra lời khuyên tầm thường là chọn nếu và chọn nếu .$M$$1...M$$E_y$$x < M/2$$E_x$$x > M/2$

Tôi có bỏ lỡ điều gì ở đây không?

BIÊN TẬP

OK, bây giờ tôi bắt đầu thấy nghịch lý rõ ràng đến từ đâu. Đối với tôi, dường như không thể có một biến ngẫu nhiên không liên quan có thể cung cấp thêm thông tin.

Tuy nhiên, lưu ý rằng chúng ta cần có ý thức chọn phân phối d . Ví dụ: chọn ranh giới cho phân phối đồng đều hoặc của phân phối Poissionian, v.v ... Rõ ràng, nếu chúng tôi đang chơi cho đậu phộng và chúng tôi đã chọn phân phối d để thống nhất trên đô la, . Xác suất cuối cùng này sẽ phụ thuộc đầu tiên và quan trọng nhất vào phán đoán của chúng tôi về những gì có thể có trong phong bì.$\lambda$$[10^9, 2\cdot 10^9]$$P(d \in (x,y)) = 0$

Nói cách khác, nếu kỹ thuật này hoạt động, thì giả định rằng chúng ta không biết phân phối tiền trong phong bì là gì (cách chọn số tiền cho phong bì) đã bị vi phạm. Tuy nhiên, nếu chúng ta thực sự không biết những gì trong phong bì, thì trong trường hợp xấu nhất, chúng ta sẽ không mất gì khi áp dụng nó.

CHỈNH SỬA 2

Một suy nghĩ khác. Cho , chúng ta chọn, để vẽ , phân phối không âm liên tục sao cho . Chúng tôi được phép làm điều đó, tôi có đúng không? Chúng tôi tiến hành theo hướng dẫn - nếu , chúng tôi giữ phong bì, nếu , chúng tôi thay đổi phong bì. Lý do không thay đổi, tùy thuộc vào cách chúng tôi chọn phân phối, có thể là (hoặc tôi có nhầm không?).d P ( d < x ) = P ( d > x ) d < x d > x P ( d ∈ [ x , y ] ) > $x$$d$$P(d < x) = P(d > x)$$d < x$$d > x$$P(d \in [x, y]) > 0$

Tuy nhiên, với cách chúng tôi chọn phân phối, những gì chúng tôi làm bây giờ tương đương với việc tung đồng xu. Chúng tôi ném một đồng xu, và nếu đó là đầu, chúng tôi thay đổi phong bì, nếu đó là đuôi, chúng tôi dính vào phong bì chúng tôi giữ. Tôi sai ở đâu

EDIT 3 :

OK, tôi hiểu rồi Nếu chúng ta căn cứ chức năng xác suất trên x (ví dụ, chúng tôi mẫu d từ một phân bố đồng đều trong phạm vi ( 1 , 2 ⋅ x ) , sau đó xác xuất P ( d ∈ ( x , y ) ) không phải là độc lập với P ( quyết định đúng đắn | d ∉ ( x , y ) ) .$d$$x$$d$$(1, 2 \cdot x)$$P(d \in (x,y))$$P(\text{correct decision}|d \notin (x,y))$

Vì vậy, nếu (với xác suất p ), đoán phải lúc nào cũng đúng, như trước đây. Nếu x là số thấp hơn, tuy nhiên, và d ∉ ( x , y ) , hơn d có cơ hội cao hơn để được thấp hơn x hơn là cao hơn so với x , vì vậy chúng tôi thiên về một quyết định không chính xác. Lý luận tương tự áp dụng khi x là số cao hơn của hai số.$d \in (x,y)$$p$$x$$d \notin (x,y)$$d$$x$$x$$x$

Điều đó có nghĩa là chúng ta phải chọn quá trình vẽ độc lập với x . Nói cách khác, chúng ta cần đoán về các tham số phân phối mà từ đó x và y được rút ra; điều tồi tệ nhất xảy ra là chúng ta vẫn đoán ngẫu nhiên, nhưng điều tốt nhất xảy ra là dự đoán của chúng ta đã đúng - và sau đó chúng ta có lợi thế. Làm thế nào điều này sẽ tốt hơn so với việc đoán "x và y sẽ, tôi nghĩ, ít nhất là 1 đô la , nhưng nhiều nhất là 10 đô la , vì vậy nếu x > 5 , chúng tôi sẽ giữ nó, và nếu không, chúng tôi trao đổi nó" Tôi vẫn chưa xem.$d$$x$$x$$y$$x > 5$

Tôi đã bị đánh lừa bởi công thức pop-sci của vấn đề trong cuốn sách của Wapner ( Kỳ vọng bất ngờ: Sự tò mò của một quả cầu pha lê toán học ), trong đó nêu rõ

"Dù sao đi nữa, hãy chọn một số nguyên dương ngẫu nhiên" (Wapner gợi ý phân phối hình học - tung đồng xu cho đến khi những cái đầu tiên xuất hiện, lặp lại quy trình nếu ) "Nếu d > x đoán cao hơn và nếu d < x đoán thấp hơn. (...) Bạn sẽ đoán đúng hơn 50 phần trăm thời gian vì d chỉ đúng hơn 50 phần trăm thời gian! "$d=x$$d > x$$d < x$$d$

Điều này được biết đến rộng rãi hơn như là vấn đề hai phong bì . Thông thường nhất là số tiền được đưa ra là và 2 A nhưng không bắt buộc phải có trường hợp này.$A$$2A$

Một số điểm:

1. Bạn không thể chọn một số nguyên ngẫu nhiên thống nhất *, nhưng phần được trích dẫn dường như không yêu cầu nó phải đồng nhất. Chọn một phân phối - không quan trọng nó là gì đối với đối số - miễn là nó có một số xác suất vượt quá bất kỳ giá trị hữu hạn nào.

2. Sẽ không hợp lý khi chọn số nguyên với quy tắc quyết định được trích dẫn, bởi vì tiền rời rạc, điều đó có nghĩa là có cơ hội khác không d = x và không có gì được liệt kê cho trường hợp đó. (Hoặc cách khác, để sửa đổi quy tắc để chỉ định những việc cần làm khi chúng bằng nhau)$d$ $d=x$

3. Bỏ qua chuyện đó, bạn có thể chọn từ một số phân phối liên tục không âm - sau đó chúng ta không phải lo lắng về sự bình đẳng.$d$

* (Bạn cũng không thể chọn số nguyên không âm ngẫu nhiên thống nhất cũng như số nguyên dương ngẫu nhiên đồng nhất)

Nếu chúng ta nói rằng có giới hạn về số tiền tối đa, giả sử hoặc ít nhất là chúng ta chọn d từ 1 ... M , thì công thức sẽ rút ra lời khuyên tầm thường khi chọn E y nếu x < M / 2 và chọn E x nếu x > M /$M$$d$$1...M$$E_y$$x<M/2$$E_x$$x>M/2$

Nếu nó chỉ ra rằng phân phối ngẫu nhiên mà được chọn bao gồm M / 2 thì nó sẽ hoạt động (cung cấp cho bạn tốt hơn 50-50); nếu phân phối bị kẹt trong một nửa thì không.$x$$M/2$

Tuy nhiên, các phiên bản của trò chơi này lần đầu tiên tôi được trình bày là phong bì được trình bày bởi một người nào đó (có thể) tìm cách giảm thiểu thu nhập của bạn từ trò chơi. Chiến lược sử dụng phân phối để quyết định có chuyển sang phong bì khác hay không vẫn sẽ hoạt động trong trường hợp đó.

Lập luận của Wapner là chính xác!

Một vài bình luận:

• Theo chiến lược cắt giảm được mô tả trong đó chúng tôi chuyển đổi phong bì nếu tệ nhất là vô dụng trong kỳ vọng trước đây. Với một lựa chọn tốt của d , nó có thể khá hữu ích.$x < d$$d$
• Nếu bạn thêm một Bayesian trước (nghĩa là bạn thêm niềm tin về việc phân phối tiền ban đầu trong phong bì), bạn có thể giải quyết giá trị tối ưu của với niềm tin trước đó của bạn.$d$
• Trong một số tình huống nhất định (ví dụ: nếu bạn càng quan sát nhiều, bạn càng có nhiều khả năng nhận được phong bì lớn), chiến lược cắt giảm thậm chí còn tối ưu.
• Trong một khung cảnh Bayes tổng quát hơn, bạn có thể làm tốt hơn một chiến lược cắt giảm đơn giản cho nhiều linh mục.

Một vấn đề liên quan nhưng khác nhau:

Như một số @Glen_b và @whuber đã đề cập, có một câu đố liên quan được gọi là Vấn đề hai phong bì , trong đó có một lý lẽ ngụy biện được đưa ra để luôn chuyển đổi phong bì và lỗ hổng trong tranh luận có thể được nhìn thấy bằng cách tiếp cận Bayesian và thêm niềm tin trước đó vào nội dung của hai phong bì.

Trong một số ý nghĩa, câu đố được mô tả ở đây là khá khác nhau. Lập luận của Wapner là chính xác!

Tôi bị thu hút bởi điều này và đã sử dụng cách tiếp cận thực tế khi chơi với nó trong Excel.

Tôi đã tạo ba số ngẫu nhiên cho x, y và d trong phạm vi 1-100. Sau đó tôi đã so sánh giữa d và x và giữa x và y và xem kết quả, đúng hay sai.

Tôi đã làm điều này 500 lần và lặp đi lặp lại nhiều lần và thường xuyên có câu trả lời đúng với khoảng 330 trên 500, như dự đoán.

Sau đó tôi tăng phạm vi d lên 1-10000 và câu trả lời đúng giảm xuống còn khoảng 260 cho 500 lần chạy.

Vì vậy, có, việc lựa chọn d phụ thuộc vào giá trị dự kiến ​​của x và y.

BoB

Tôi nghĩ nghịch lý rõ ràng với việc mở rộng Wapner của phương trình p + (1-p) / 2 là nó giả định rằng (1-p) / 2> 0. Đối với nhiều phạm vi của d, giá trị này là 0.

Ví dụ: bất kỳ d được chọn từ phân phối đối xứng tập trung vào giá trị trong đường bao mở, đưa ra xác suất sai 1/2 và đúng 1/2.

Bất kỳ phân phối được chọn không đối xứng nào xuất hiện sai lệch lựa chọn sai 1/2 thời gian.

Vì vậy, có cách nào để chọn một phạm vi và phân phối cho d sao cho phương trình này giữ?