Mối quan hệ giữa Poisson, nhị thức, phân phối nhị thức âm và phân phối chuẩn

Khi chúng ta phải xác định phân phối số lượng rời rạc, chúng ta thường sử dụng:

• Phân phối Poisson, nếu có nghĩa là = phương sai
• Phân phối nhị thức, nếu có nghĩa là> phương sai
• Phân phối nhị thức âm, nếu có nghĩa là <phương sai

Câu hỏi của tôi là, có thể sử dụng phân phối bình thường để gần đúng? Ví dụ: để có phân phối Poisson (với mean = 4), chúng tôi bắt đầu với phân phối bình thường (với mean = variance = 4)

x=seq(0,20,1)
plot(x,dpois(x,4))
points(x,dnorm(x,4,2),col=2)

Chúng ta có thể thấy rằng hai mật độ không khác nhau lắm. Bây giờ, nếu chúng ta xác định các quy tắc ngưỡng và somes:

• nếu kết quả của luật bình thường là âm, thì nó là 0
• với x = 6.2, thì nó là 6, v.v.

Có thể sử dụng một xấp xỉ như vậy từ phân phối bình thường để xác định hoàn toàn phân phối Poisson? Điều tương tự cho nhị thức âm và nhị thức.

Tại sao tôi cố gắng làm điều này? Thông thường, khi chúng tôi thử xác định phân phối Poisson với dữ liệu thực tế, chúng tôi không bao giờ có mean = phương sai. Vì vậy, khi chúng tôi sử dụng phân phối Poisson, đó là vì chúng tôi có khoảng điều kiện này. Chúng ta phải thảo luận về ba trường hợp này, với giá trị trung bình và phương sai ước tính (từ dữ liệu thực tế).

Vì vậy, ý tưởng của tôi là luôn luôn sử dụng

• giá trị trung bình và phương sai theo kinh nghiệm, để xác định phân phối chuẩn
• sau đó, definie somes "quy tắc" trong chức năng của các tham số này
• để chúng tôi tính toán giá trị trung bình và phương sai trên dữ liệu đếm số lượng mô phỏng, chúng tôi có thể xác minh giá trị trung bình và phương sai theo kinh nghiệm ban đầu.

Bạn nghĩ gì về phương pháp này, khi nói đến việc mô phỏng dữ liệu đếm rời rạc, thay vào đó sử dụng phân phối nhị thức Poisson, nhị thức hoặc âm?

• Phân phối nhị thức là phân phối số lượng thành công trong một số thử nghiệm độc lập cố định (nghĩa là không ngẫu nhiên) với cùng xác suất thành công trên mỗi thử nghiệm. Nó hỗ trợ là tập , là hữu hạn, trong đó là số lượng thử nghiệm.$\{0,1,2,\ldots,n\}$$n$

• Phân phối nhị thức âm là phân phối số lần thất bại trước một số lần thành công cố định (nghĩa là không ngẫu nhiên), một lần nữa với các thử nghiệm độc lập và cùng xác suất thành công trên mỗi thử nghiệm. Hỗ trợ của nó là tập , là vô hạn.$\{0,1,2,3,\ldots\}$

• Phân phối Poisson có thể được mô tả một cách lỏng lẻo là số lần thành công trong vô số thử nghiệm độc lập với xác suất thành công vô cùng nhỏ trên mỗi thử nghiệm, trong đó số lần thành công dự kiến ​​là một số dương cố định. Đó là một giới hạn của phân phối nhị thức trong đó số lượng thử nghiệm tiếp cận và xác suất thành công của mỗi thử nghiệm tiếp cận theo cách mà số lượng thành công dự kiến ​​không đổi hoặc ít nhất là tiếp cận một số số dương.$\infty$$0$

Đúng là đối với phân phối nhị thức, giá trị trung bình lớn hơn phương sai, đối với phân phối nhị thức âm, giá trị trung bình nhỏ hơn phương sai và đối với phân phối Poisson thì chúng bằng nhau.

Nhưng đó là không đúng rằng đối với mỗi phân phối mà sự ủng hộ là một số tập hợp các số hồng y, nếu giá trị trung bình bằng phương sai thì nó là một bản phân phối Poisson, và cũng không rằng nếu giá trị trung bình lớn hơn phương sai nó là một phân phối nhị thức, cũng không rằng nếu giá trị trung bình nhỏ hơn phương sai là phân phối nhị thức âm. Ví dụ: giá trị trung bình của phân bố siêu bội phát sinh từ lấy mẫu mà không thay thế lớn hơn phương sai, như với phân phối nhị thức, nhưng phân phối không giống nhau. Đối với phân phối đồng đều trên tập , nếu$\{0,1,2,\ldots,n\}$$n>4$sau đó phương sai lớn hơn giá trị trung bình, như với phân phối nhị thức âm, nhưng phân phối không giống nhau. Đối với phân phối đồng đều trên tập , phương sai bằng giá trị trung bình, như với phân phối Poisson, nhưng phân phối không giống nhau.$\{0,2\}$

Nếu thì vì khi lớn, phân phối của giống như phân phối tổng của một số lượng lớn các biến ngẫu nhiên phân phối Poisson có tổng gần . Đó là bởi vì tổng các biến ngẫu nhiên phân phối Poisson độc lập được phân phối Poisson, do đó định lý giới hạn trung tâm có thể được áp dụng.$X\sim\mathrm{Poisson}(\lambda)$

$$\frac{X-\lambda}{\sqrt\lambda} \overset{\text{D.}} \longrightarrow N(0,1) \text{ as } \lambda\to\infty$$ $\lambda$$X$$1$

Nếu thì vì có cùng phân phối với tổng biến ngẫu nhiên độc lập được phân phối là , do đó, một lần nữa áp dụng định lý giới hạn trung tâm.$X\sim\mathrm{Binomial}(n,p)$

$$\frac{X-np}{\sqrt{np(1-p)}} \overset{\text{D.}}\longrightarrow N(0,1) \text{ as } n \to \infty$$ $X$$n$$\mathrm{Binomial}(1,p)$

Phân phối nhị thức âm với các tham số là phân phối số lần thất bại trước thành công thứ , với xác suất thành công trên mỗi thử nghiệm. Nếu được phân phối như vậy thì chúng ta có vì có cùng phân phối với tổng các biến ngẫu nhiên độc lập phân phối dưới dạng nhị thức âm với tham số , do đó, một lần nữa áp dụng định lý giới hạn trung tâm.$r,p$$r$$p$$X$

$$\frac{X- (pr/(1-p)) }{\sqrt{pr}/(1-p)} \overset{\text{D.}} \to N(0,1) \text{ as } r\to\infty$$ $X$$r$$1,p$

Khi xấp xỉ bất kỳ loại phân phối nào với phân phối bình thường, lưu ý rằng giống như sự kiện , vì vậy hãy sử dụng hiệu chỉnh liên tục trong đó bạn tìm thấy xác suất theo phân phối chuẩn.$[X\le n]$$[X<n+1]$$[X\le n+\frac 1 2]$