Là tổng của hai biến độc lập với biến thứ ba, nếu chúng là như vậy?

Với 3 biến ngẫu nhiên , và . và là độc lập. và là độc lập. Theo trực giác tôi sẽ cho rằng và là độc lập. Đây có phải là trường hợp, và làm thế nào tôi có thể chứng minh nó chính thức?$X_1$$X_2$$Y$$Y$$X_1$$Y$$X_2$$Y$$X_1+X_2$

EDIT: Như được chỉ ra bởi những người dùng khác, câu trả lời này không đúng vì nó đưa ra giả định rằng độc lập với$Y$$(X_1,X_2)$

Lưu ý rằng là hàm của vì nếu bạn lấy bạn sẽ nhận được .$X_1 + X_2$$Z = (X_1,X_2)$

Một định lý nổi tiếng về xác suất rằng nếu và là các biến ngẫu nhiên độc lập và và là các hàm có thể đo được thì độc lập với (Định lý 10,4 của "Xác suất: Khóa học sau đại học" lần 2. bởi Allan Gut).$R_1$$R_2$$f_1$$f_2$$f_1(R_1)$$f_2(R_2)$

Vì có thể đo được và Y độc lập với chúng ta biết rằng cũng độc lập với . Lưu ý rằng chúng tôi đã lấy làm hàm nhận dạng và .$f$$Z$$Y$$f(Z) = X_1 + X_2$$f_1$$f_2 = f$

(Để hoàn thành chủ đề này, tôi đang nâng cao nhận xét của người dùng233740 thành câu trả lời.)

Tuyên bố là không đúng sự thật.

Khả năng $X_1+X_2$ có thể không độc lập với $Y$ gợi nhớ mạnh mẽ đến vấn đề sách giáo khoa quen thuộc liên quan đến các biến ngẫu nhiên tầm thường $(X_1,X_2,Y)$ độc lập theo cặp nhưng không độc lập. Với suy nghĩ đó, chúng ta hãy xem xét ví dụ đơn giản nhất như vậy, đó là chọn một trong các hàng của ma trận này một cách ngẫu nhiên:

Bạn có thể thấy rằng hai cột bất kỳ xác định Bernoulli độc lập $(1/2)$ biến, nhưng ba không phải là độc lập vì thứ ba có thể được xác định từ hai người kia.

Sau đó chúng ta chọn hai trong số các cột này, biểu thị chúng là $X_1$ và và để là cột thứ ba. Quan sát rằng khi Y = 0 , X 1 + X 2 là một trong hai 0 hoặc 2 (với xác suất như nhau), nhưng khi Y = 1 , X 1 + X 2 = 1. Do đó, hàm xác suất có điều kiện Pr ( X 1 + X 2 | Y ) không phải là hằng số, chứng tỏ$X_2,$$Y$$Y=0,$ $X_1+X_2$$0$$2$$Y=1,$ $X_1+X_2=1.$