Trực giác đằng sau phân phối luật quyền lực

16

Tôi biết rằng pdf của phân phối luật công suất là

p (x) = \frac{α - 1}{x_{min}} {(\frac{x}{x_{min}})}^{- α}

$p(x) = \frac{\alpha-1}{x_{\text{min}}} \left(\frac{x}{x_{\text{min}}} \right)^{-\alpha}$

Nhưng trực giác có nghĩa là gì nếu, ví dụ, giá cổ phiếu tuân theo phân phối luật quyền lực? Điều này có nghĩa là tổn thất có thể rất cao nhưng không thường xuyên?

distributions power-law

— Thomas James
nguồn

5

Đây là một phân phối có đuôi nặng, vì cdf là Vì vậy, xác suất vượt quá , có thể được tạo tùy ý gần bằng bằng cách chọn đúng . Chẳng hạn, nếu một người muốn xác suất vượt quá ít nhất là , thì nên chọn nhiều nhất là một đường cong được biểu thị bên dưới, với trục đầu tiên được chia tỷ lệ bởi , không phải bởi ...

F (x) = 1 - {(\frac{x}{x_{min}})}^{1 - α}

$F(x) = 1 - \left( \dfrac{x}{x_\min} \right)^{1-\alpha}$

x

$x$

(x / x_{min})^{1 - α}

$(x/x_\min)^{1-\alpha}$

1

$1$

α

$\alpha$

10^{u} x_{min}

$10^u x_\min$

0.9

$0.9$

α

$\alpha$

1 - \log_{10} (0.9) / u

$1-\log_{10}(0.9)/u$

u

$u$

10^{u} x_{min}

$10^u x_\min$ Kết xuất đường cong R của hàm trên

— Tây An
nguồn

2

Đây không phải là một nguồn được đánh giá ngang hàng, nhưng tôi thích ghi chú này của giáo sư thống kê CMU Cosma Shalizi . Ông cũng là một tác giả của bài viết này , về việc ước tính những thứ như vậy từ dữ liệu.

— Vâng
nguồn

Đó là lý do tại sao tôi hỏi câu hỏi của tôi. Tôi đã đọc bài viết đó rồi. Không có phương trình, điều gì có nghĩa là một cái gì đó để tuân theo một phân phối luật quyền lực?

— Thomas James

2

Chào mừng đến với trang web, Thomas! Bạn có thể cân nhắc chỉnh sửa câu hỏi của mình để đưa ra một số dấu hiệu cho thấy điều gì đã khơi gợi sự quan tâm của bạn ban đầu. Nói chung, càng nhiều thông tin thì càng tốt. Ví dụ, nói rằng bạn đã đọc ghi chú của Giáo sư Shalizi và điều đó khiến bạn băn khoăn về X không chỉ thử các câu trả lời gợi ý chính xác mà còn cho thấy rõ hơn suy nghĩ của bạn, có xu hướng gợi ra những câu trả lời tốt hơn. :) (Ví dụ: bạn đã đọc bài viết đánh giá của M. Mitzenmacher trong Internet Toán học chưa?)

— Đức hồng y

2

Các Luật về Quyền lực trong Kinh tế và Tài chính có thể giúp đạt được trực giác về các luật về quyền lực. Xavier Gabaix tuyên bố rằng luật quyền lực (PL) là hình thức được thực hiện bởi một số lượng lớn các quy tắc thực nghiệm đáng ngạc nhiên trong kinh tế và tài chính. Đánh giá của ông khảo sát các PL thực nghiệm được ghi chép tốt về thu nhập và sự giàu có, quy mô của các thành phố và công ty, lợi nhuận thị trường chứng khoán, khối lượng giao dịch, thương mại quốc tế và lương điều hành.

Trực giác cho phân phối Pareto

Pareto (wikipedia) ban đầu mô tả sự phân bổ của cải giữa các cá nhân: một phần lớn tài sản của bất kỳ xã hội nào đều thuộc sở hữu của một tỷ lệ nhỏ người. Ý tưởng của ông thể hiện đơn giản hơn là nguyên tắc Pareto hoặc "quy tắc 80-20" nói rằng 20% dân số kiểm soát 80% của cải.

Phần đuôi phải của phân phối thu nhập và của cải thường giống với Pareto

Nếu phân phối thu nhập là Pareto, thì người ta có thể rút ra các biểu thức đơn giản cho tỷ lệ 1% hàng đầu hoặc 10% hàng đầu. Sau đó, phần thu nhập của phần trăm thứ q hàng đầu có thể được lấy là:

{(\frac{q}{100})}^{\frac{α - 1}{α}},

$\left(\frac{q}{100}\right)^{\frac{\alpha-1}{\alpha}},$

Trong đó là tham số hình dạng. Biểu thức này ngụ ý rằng thấp hơn tương ứng với phần đuôi dày hơn của phân phối Pareto và do đó phần lớn hơn trong tổng thu nhập được thu thập bởi các cá nhân ở phần trăm phân phối cao hơn. Ví dụ: với , chia sẻ 1% hàng đầu là 10% và với , nó là 4%. $\alpha \geq 1$ $\alpha$ $\alpha=2$ $\alpha=3$

— emeryville
nguồn

2

Một thuộc tính thú vị của phân phối luật điện xuất phát từ việc xem xét nó trên thang đo log. Nếu chúng ta có thì phép biến đổi logarit . Nghĩa là, các giá trị của có phân bố theo cấp số nhân theo thang logarit. $X \sim \text{Power}(x_\min, \alpha)$ $Y = \ln(x/x_\min) \sim \text{Exp}(\alpha-1)$ $X$

Bây giờ, một tính chất quan trọng của phân phối theo cấp số nhân là nó có tỷ lệ rủi ro không đổi. Viết ra tỷ lệ nguy hiểm cho thông qua các nguyên tắc đầu tiên (dưới dạng mật độ có điều kiện ở dạng giới hạn của nó) và điều chỉnh tỷ lệ này theo khung theo chúng ta có được: $Y$ $X$

\begin{aligned} α - 1 = λ_{Y} (y) & = lim_{ϵ ↓ 0} \frac{1}{ϵ} \cdot P (y ⩽ Y ⩽ y + ϵ | Y ⩾ y) \\ = lim_{ϵ ↓ 0} \frac{1}{ϵ} \cdot P (\ln (x) ⩽ \ln (X) ⩽ \ln (x) + ϵ | X ⩾ x) \\ = lim_{ϵ ↓ 0} \frac{P (x ⩽ X ⩽ x e^{ϵ} | X ⩾ x)}{ϵ} \\ = lim_{δ ↓ 1} \frac{P (x ⩽ X ⩽ δ x | X ⩾ x)}{\ln δ} . \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} \alpha -1 = \lambda_Y(y) &= \lim_{\epsilon \downarrow 0} \frac{1}{\epsilon} \cdot \mathbb{P}(y \leqslant Y \leqslant y + \epsilon| Y \geqslant y) \\[6pt] &= \lim_{\epsilon \downarrow 0} \frac{1}{\epsilon} \cdot \mathbb{P}(\ln(x) \leqslant \ln(X) \leqslant \ln(x) + \epsilon| X \geqslant x) \\[6pt] &= \lim_{\epsilon \downarrow 0} \frac{\mathbb{P}(x \leqslant X \leqslant x e^\epsilon | X \geqslant x)}{\epsilon} \\[6pt] &= \lim_{\delta \downarrow 1} \frac{ \mathbb{P}(x \leqslant X \leqslant \delta x | X \geqslant x)}{\ln \delta}. \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$

Chúng ta có thể thấy từ đặc tính nguy hiểm này rằng cho bất kỳ giá trị nhỏ nào của . Lưu ý rằng xác suất này không phụ thuộc vào giá trị điều hòa , là kết quả của đặc tính nguy hiểm không đổi. Do đó, đối với mọi giá trị điều hòa và bất kỳ giá trị nhỏ nào , chúng tôi có: $\mathbb{P}(x \leqslant X \leqslant \delta x | X \geqslant x) \approx (\alpha-1) \ln \delta$ $\ln \delta$ $x$ $x, x' > x_\min$ $\ln \delta$

P (x ⩽ X ⩽ δ x | X ⩾ x) \approx P (x^{'} ⩽ X ⩽ δ x^{'} | X ⩾ x^{'}) .

$\mathbb{P}(x \leqslant X \leqslant \delta x | X \geqslant x) \approx \mathbb{P}(x' \leqslant X \leqslant \delta x' | X \geqslant x').$

Do đó, chúng ta thấy rằng luật công suất có thể được đặc trưng bởi thực tế là xác suất có điều kiện này xấp xỉ như nhau bất kể điểm điều hòa. Trong bối cảnh giá cổ phiếu, nếu những điều này tuân theo luật quyền lực thì chúng ta có thể nói rằng, xác suất cổ phiếu sẽ "tăng" theo một tỷ lệ nào đó không phụ thuộc vào giá trị hiện tại của nó . $^\dagger$

$^\dagger$ Chúng tôi sử dụng "tăng" một cách lỏng lẻo ở đây, vì chúng tôi đang nói về một biến ngẫu nhiên duy nhất và chúng tôi chưa mô hình hóa một chuỗi thời gian của giá cổ phiếu. Trong bối cảnh hiện tại, chúng tôi đề cập đến xác suất "tăng" giá cổ phiếu theo nghĩa xác suất có điều kiện rằng giá nằm trong một khoảng thời gian trên giới hạn dưới, có điều kiện ở giới hạn dưới này.

— Phục hồi
nguồn