Cách biểu thị các ô của bảng 2x2 theo hệ số phi và xác suất cận biên

Xem xét bảng tần số 2x2 điển hình (hiển thị trong hình này): Ký hiệu: Biến hàng được ký hiệu là R và nhận các giá trị 0 hoặc 1; biến cột được ký hiệu là C và nhận các giá trị 0 hoặc 1. Các ô của bảng biểu thị tần số của mỗi kết hợp R và C; ví dụ: là tần số của R = 0 và C = 1. Đối với mục đích câu hỏi của tôi, giả sử rằng số lượng tế bào được chia cho tổng số, để các giá trị ô là xác suất chung của các ô .

$b$

Tôi muốn biểu thị xác suất của ô theo hệ số phi (là thước đo tương quan với công thức được cung cấp bên dưới) và xác suất cận biên: và . Đó là, tôi muốn đảo ngược hệ thống gồm bốn phương trình sau: và, tất nhiên, . Nói cách khác, tôi muốn giải cho , , và về $\mu_R\equiv p(R\!=\!1) = c+d$ $\mu_C\equiv p(C\!=\!1) = b+d$

\begin{aligned} (by defn) & ϕ & \equiv (a d - b c) / \sqrt{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)} \\ (by defn) & μ_{R} & = c + d \\ (by defn) & μ_{C} & = b + d \\ (constraint) & 1 & = a + b + c + d \end{aligned}

$\begin{align} \phi &\equiv (ad-bc)/\sqrt{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)} \tag{by defn}\\ \mu_{R} &= c+d \tag{by defn}\\ \mu_{C} &= b+d \tag{by defn}\\ 1 &= a+b+c+d \tag{constraint} \end{align}$

0 \leq a, b, c, d \leq 1

$0 \le a,b,c,d \le 1$ $a$ $b$ $c$ $d$ $\phi$ , và . $\mu_{R}$ $\mu_{C}$

Vấn đề này có thể đã được giải quyết bởi ai đó trước đây, nhưng các tìm kiếm của tôi không mang lại nguồn và các nỗ lực yếu của tôi đối với đại số không tạo ra câu trả lời và tôi không thể tìm thấy các bộ biến đổi tương đương hệ thống (phi tuyến) xử lý trường hợp này .

contingency-tables simultaneous-equation

— John K. Kruschke
nguồn

Chúng tôi dễ dàng nhận ra mọi yếu tố trong mẫu số của , vì và . Do đó, hãy bắt đầu với một đơn giản hóa nhỏ để tránh viết nhiều căn bậc hai: $\phi$ $a+b=1-\mu_R$ $a+c=1-\mu_C$

Δ = a d - b c = ϕ \sqrt{μ_{R} (1 - μ_{R}) μ_{C} (1 - μ_{C})} .

$\Delta=ad - bc = \phi \sqrt{\mu_R(1-\mu_R)\mu_C(1-\mu_C)}.$

Hãy tìm : $d$

\begin{aligned} d & = (1) d = (a + b + c + d) d = a d + b d + c d + d^{2} \\ = a d + (- b c + b c) + b d + c d + d^{2} \\ = (a d - b c) + (c + d) (b + d) \\ = Δ + μ_{R} μ_{C} . \end{aligned}

$\eqalign{d &= (1)d = (a+b+c+d)d = ad +bd +cd + d^2 \\ &= ad + (-bc + bc) + bd + cd + d^2 \\ &= (ad - bc) + (c+d)(b+d) \\&= \Delta + \mu_R\mu_C.}$

Việc tìm , và tiến hành tương tự do các đối xứng của vấn đề: hoán đổi các cột hoán đổi và , và , trong khi thay đổi thành và phủ định , từ đó $a$ $b$ $c$ $a$ $b$ $c$ $d$ $\mu_C$ $1-\mu_C$ $\Delta$

c = - Δ + μ_{R} (1 - μ_{C}) .

$c = -\Delta + \mu_R(1-\mu_C).$

Trao đổi các hàng hoán đổi và , và , trong khi thay đổi thành và phủ định , từ đâu $a$ $c$ $b$ $d$ $\mu_R$ $1-\mu_R$ $\Delta$

b = - Δ + (1 - μ_{R}) μ_{C} .

$b = -\Delta + (1-\mu_R)\mu_C.$

Hoán đổi cả hàng và cột

a = Δ + (1 - μ_{R}) (1 - μ_{C}) .

$a = \Delta + (1-\mu_R)(1-\mu_C).$

Cho các biểu thức này cho , thật đơn giản để kiểm tra xem và , và chỉ khó hơn một chút xác minh rằng . $a,b,c,d$ $a+b+c+d=1, c+d=\mu_R,$ $b+d=\mu_C$ $ad-bc=\Delta$

— whuber
nguồn

Một lưu ý cho những người khác có thể sử dụng câu trả lời (đúng!) Này: Nó có thể mang lại các giá trị của a, b, c hoặc d là âm. Nói cách khác, không phải tất cả các kết hợp phi trong [-1,1], mu_R trong [0,1] và mu_C trong [0,1] có thể được tạo bởi ma trận xác suất. To whuber: Cảm ơn bạn!

— John K. Kruschke

Điều đó đúng, John, nhưng tôi không đề cập đến thực tế đó vì có lẽ , và đã được lấy từ một bảng hợp lệ ở vị trí đầu tiên. Giả sử và là tần số hợp lệ (trong khoảng ), sẽ là số thực. Nó phải nằm trong khoảng

μ_{R}

$\mu_R$

μ_{C}

$\mu_C$

ϕ

$\phi$

μ_{R}

$\mu_R$

μ_{C}

$\mu_C$

[0, 1]

$[0,1]$

Δ

$\Delta$

[- min (μ_{R} μ_{C}, (1 - μ_{R}) (1 - μ_{C})), min (μ_{R} (1 - μ_{C}), (1 - μ_{R}) μ_{C})] .

$[-\min(\mu_R\mu_C, (1-\mu_R)(1-\mu_C)), \ \min(\mu_R(1-\mu_C), (1-\mu_R)\mu_C)].$

— whuber