Làm thế nào là phân phối quy định tại 0 cho mức độ khác nhau của sự tự do?

Tôi đang cố gắng để hiểu phân phối . Wikipedia có biểu đồ sau cho hàm mật độ xác suất: $\chi^2$

Biểu đồ này cho thấy với , PDF sẽ ... vô hạn? Chế độ phân phối được xác định là , vì vậy $k = 1$ $\chi^2$ $max \{k − 2, 0\}$ $f_1(0) = ?$

Trong các biểu đồ khác trên Web, có vẻ như nó thậm chí còn cao hơn . Giống như ở đây: $1$

Tất nhiên, hàm phân phối tích lũy tiếp cận cho tất cả các mức độ tự do: $1$

Tôi không hiểu tại sao hàm phân phối xác suất hoạt động như vậy khoảng cho bất kỳ . Làm thế nào là -distribution xác định xung quanh ? $0$ $k$ $\chi^2$ $0$

mathematical-statistics chi-squared

— CamilB
nguồn

Bạn đã xem công thức cho mật độ của nó? Điều đó ngay lập tức và hoàn toàn trả lời câu hỏi của bạn.

— whuber

Tôi có cảm giác rằng những gì bạn thực sự hỏi là liệu CDF có bị ràng buộc ở mức 1 hay không, khi PDF chuyển sang vô cùng ở mức 0. Là nó?

— Antoni Parellada

@AntoniParellada: những gì tôi đang hỏi là giống như: thế nào là nó hòa giải rằng PDF cho là quá cao khi tiếp cận 0, với thực tế là CDF là (và phải được) giáp tại . Có vẻ như việc tích hợp PDF sẽ mang lại kết quả cao hơn .

k = 1

$k = 1$

1

$1$

1

$1$

— CamilB

Có vẻ như bạn cần đọc stats.stackexchange.com/questions/4220/ .

— whuber

Cảm giác của bạn rằng diện tích dưới pdf sẽ lớn hơn 1 do cách tăng khi nó tiếp cận nguồn gốc không phải là hiếm (xem xét biểu đồ mật độ cho nói), nhưng đó là một ấn tượng sai lầm. Lưu ý rằng khi , mật độ sẽ rất gần với (trong khi luôn ở dưới nó để có sự lựa chọn đúng đắn của ). Tuy nhiên, hầu hết mọi người sẽ nhìn vào nghịch đảo của rằng trên ràng buộc (âm mưu vs cho chẳng hạn) - mà không bị lo lắng về nó bùng nổ trong khu vực (và vì lý do tốt - - nó không). Nhận thức có thể bị đánh lừa bởi một cú lật trục đơn giản

0 < x < 0.1

$0<x<0.1$

x \to 0

$x\to 0$

\frac{c}{\sqrt{x}}

$\frac{c}{\sqrt{x}}$

c

$c$

\frac{c^{2}}{y^{2}}

$\frac{c^2}{y^2}$

y

$y$

y > 1.2

$y>1.2$

— Glen_b -Reinstate Monica

Câu trả lời:

Pdf của phân phối là $\chi^2$ $f(x;k)=\frac{1}{2^{\frac{k}{2}}\Gamma(k/2)}x^{k/2-1}\exp(-x/2).$

Vì vậy, chúng ta chỉ cần đánh giá biểu thức cho . $f(0;k)$

f (0; 1) = \infty

$f(0;1)=\infty$

f (0; 2) = 0.5

$f(0;2)=0.5$

f (0; 3) = 0

$f(0;3)=0$ Và cứ thế. Mã R cho điều này là dchisq(0,k)cho một số tích cực k. Nó thực sự chỉ thú vị với vì là vô hạn đối với và 0 đối với .

k = 2

$k= 2$

f (0; k)

$f(0;k)$

0 < k < 2

$0<k<2$

k > 2

$k>2$

— Sycorax nói phục hồi Monica
nguồn

Rất cám ơn đã gợi ý R, tôi sẽ cố gắng vẽ đồ thị để có cảm giác tốt hơn.

— CamilB

Người ta có thể lập luận rằng nó không đặc biệt thú vị ở đối với bất kỳ giá trị df nào ngoài 2, vì nó sẽ luôn ở mức vô cùng là (đối với ) hoặc là (đối với ).

x = 0

$x=0$

x \to 0

$x\to 0$

k < 2

$k<2$

0

$0$

k > 2

$k>2$

— Glen_b -Reinstate Monica

@Glen_b Đó thực sự là một điểm tốt: giá trị thú vị duy nhất của là chính xác.

f (0; k)

$f(0;k)$

2

$2$

— Sycorax nói Phục hồi lại

Hãy thử quay lại định nghĩa của phân phối này và xem điều gì xảy ra xung quanh 0.

Theo định nghĩa, phân phối là tổng bình phương của các biến ngẫu nhiên bình thường độc lập: (xem trang wikipedia ). Chúng ta dễ dàng thấy rằng giá trị của mật độ là đối với và đối với . Với , trường hợp hơi khác một chút. $\chi^2$

Y = \sum_{i = 1}^{k} Z_{i}^{2},

$Y = \sum_{i=1}^k Z_i^2 ,$

0

$0$

k \geq 3

$k\geq 3$

.5

$.5$

k = 2

$k=2$

k = 1

$k=1$

Hãy xem xét trường hợp đó để giải quyết câu hỏi của bạn: bằng cách thay đổi biến, chúng tôi có sao cho: $y=g(z)=z^2$

f_{Y} (y) = | \frac{d}{d y} (g^{- 1} (y)) | \cdot f_{Z} (g^{- 1} (y)) = | \frac{d}{d y} (\sqrt{y}) | \cdot f_{Z} (\sqrt{y}) = \frac{1}{2 \sqrt{y}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2} π} \exp (- y / 2)

$f_Y(y) = \left| \frac{d}{dy} (g^{-1}(y)) \right| \cdot f_Z(g^{-1}(y))\\ = \left| \frac{d}{dy} (\sqrt{y}) \right| \cdot f_Z(\sqrt{y})\\ = \frac{1}{2\sqrt{y}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}\pi} \exp(-y/2)$

Chúng tôi hiểu một thực tế cơ bản, không được xác định bằng vì hoạt động bình phương tại điểm đó là phẳng và do đó không được xác định (vô hạn). $\chi_1$ $0$ $g(0)=0$ $g^{-1}(0)$

— meduz
nguồn

Như toán học chỉ ra, thực tế là mật độ không xác định ở phát từ hai sự kiện. Nó không đủ rằng . Ngoài ra, bạn cần .

0

$0$

g^{'} (0) = 0

$g^\prime(0)=0$

f_{Z} (0) \neq 0

$f_Z(0) \ne 0$

— whuber