Phân phối entropy tối đa của một tỷ lệ với trung bình và phương sai đã biết? Có phải là bản beta không?

Cho một tỷ lệ và sai số chuẩn của nó, giả định phân phối nào giảm thiểu các giả định / tối đa hóa entropy? Đây có phải là bản beta (và tôi có thể sử dụng phương pháp của các khoảnh khắc để ước tính các tham số của nó không)? Hay cái gì khác?

— chung_user
nguồn

Đó là một phân phối bình thường cắt ngắn . Đây là hệ quả của Định lý Boltzmann .

Các phân tích sau đây cung cấp các chi tiết cần thiết để thực hiện một giải pháp thực tế.

Một bình thường $(\mu,\sigma)$ phân phối $F$ cắt ngắn đến khoảng $[0,1]$ phát sinh bằng cách lấy một biến bình thường tiêu chuẩn $X$ với phân phối xác suất $\Phi$ , nhân rộng nó bằng $\sigma$ , chuyển nó sang $\mu$ và cắt nó thành $[0,1]$ . Tương đương - làm việc ngược - biến ban đầu $X$ phải được cắt ngắn đến khoảng $[-\mu/\sigma, (1-\mu)/\sigma]$ nơi nó có tổng xác suất

\begin{matrix} (1) & C = = Φ (\frac{1 - μ}{σ}) - Φ (\frac{- μ}{σ}), \end{matrix}

$C = \Phi\left(\frac{1-\mu}{\sigma}\right) - \Phi\left(\frac{-\mu}{\sigma}\right),\tag{1}$

sự mong đợi

μ_{1} = = \frac{1}{C \sqrt{2 π}} \int_{\frac{- μ}{σ}}^{\frac{1 - μ}{σ}} x điểm kinh nghiệm (\frac{- x^{2}}{2}) d x,

$\mu_1=\frac{1}{C\sqrt{2\pi}}\int_\frac{-\mu}{\sigma}^\frac{1-\mu}{\sigma} x\exp\left(\frac{-x^2}{2}\right)\mathrm{d}x,$

và khoảnh khắc thứ hai (thô)

μ_{2} = = \frac{1}{C \sqrt{2 π}} \int_{\frac{- μ}{σ}}^{\frac{1 - μ}{σ}} x^{2} điểm kinh nghiệm (\frac{- x^{2}}{2}) d x .

$\mu_2 = \frac{1}{C\sqrt{2\pi}}\int_\frac{-\mu}{\sigma}^\frac{1-\mu}{\sigma} x^2\exp\left(\frac{-x^2}{2}\right)\mathrm{d}x.$

Có lẽ "lỗi tiêu chuẩn" của bạn là $\sqrt{\mu_2-\mu_1^2}$ hoặc một số bội số không đổi của nó.

Những tích phân này có thể được tính theo

\begin{matrix} (2) & μ_{1} (z) = = \frac{1}{C \sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{z} x điểm kinh nghiệm (\frac{- x^{2}}{2}) d x = = - \frac{1}{C \sqrt{2 π}} điểm kinh nghiệm (- \frac{z^{2}}{2}) \end{matrix}

$\mu_1(z) = \frac{1}{C\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^z x\exp\left(\frac{-x^2}{2}\right)\mathrm{d}x = -\frac{1}{C\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{z^2}{2}\right)\tag{2}$

và, tích hợp bởi các bộ phận,

\begin{matrix} (3) & \begin{aligned} μ_{2} (z) & = = \frac{1}{C \sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{z} (x) (x điểm kinh nghiệm (\frac{- x^{2}}{2})) d x \\ = = \frac{1}{C \sqrt{2 π}} (x (- điểm kinh nghiệm (- \frac{x^{2}}{2})) |_{- \infty}^{z} - \int_{- \infty}^{z} - điểm kinh nghiệm (- \frac{x^{2}}{2}) d x) \\ = = - \frac{1}{C \sqrt{2 π}} z điểm kinh nghiệm (- \frac{z^{2}}{2}) + \frac{1}{C} Φ (z) . \end{aligned} \end{matrix}

$\eqalign{ \mu_2(z) &= \frac{1}{C\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^z (x)\left(x\exp\left(\frac{-x^2}{2}\right)\right)\mathrm{d}x \\ &= \frac{1}{C\sqrt{2\pi}}\left(x\left(-\exp\left(-\frac{x^2}{2}\right)\right)\mid_{-\infty}^z - \int_{-\infty}^z -\exp\left(-\frac{x^2}{2}\right)\mathrm{d}x \right)\\ &=-\frac{1}{C\sqrt{2\pi}}z\exp\left(-\frac{z^2}{2}\right) + \frac{1}{C}\Phi(z)\tag{3}. }$

Như vậy

μ_{1} = = μ_{1} (\frac{1 - μ}{σ}) - μ_{1} (\frac{- μ}{σ})

$\mu_1 = \mu_1\left(\frac{1-\mu}{\sigma}\right) - \mu_1\left(\frac{-\mu}{\sigma}\right)$

và

μ_{2} = = μ_{2} (\frac{1 - μ}{σ}) - μ_{2} (\frac{- μ}{σ}) .

$\mu_2 = \mu_2\left(\frac{1-\mu}{\sigma}\right) - \mu_2\left(\frac{-\mu}{\sigma}\right).$

Những tính toán này $(1)$ , $(2)$ và $(3)$ có thể được thực hiện trong bất kỳ phần mềm nào có hàm mũ, căn bậc hai và $\Phi$ có sẵn. Điều này cho phép ứng dụng trong bất kỳ thủ tục phù hợp, chẳng hạn như phương pháp của khoảnh khắc hoặc khả năng tối đa. Hoặc là sẽ yêu cầu giải pháp số.

— whuber
nguồn