Thống kê đầy đủ chung: Thống nhất (a, b)

Đặt là một mẫu ngẫu nhiên từ phân phối đồng đều trên , trong đó . Đặt và là thống kê đơn hàng lớn nhất và nhỏ nhất. Cho thấy rằng thống kê là một thống kê đầy đủ chung cho tham số . $\mathbf{X}= (x_1, x_2, \dots x_n)$$(a,b)$$a < b$$Y_1$$Y_n$$(Y_1, Y_n)$$\theta = (a, b)$

Không có vấn đề gì đối với tôi để thể hiện sự đầy đủ bằng cách sử dụng hệ số.

Câu hỏi: Làm thế nào để tôi thể hiện sự hoàn chỉnh? Tốt nhất là tôi muốn một gợi ý.

Nỗ lực: Tôi có thể hiển thị ngụ ý cho phân phối thống nhất một tham số, nhưng tôi bị kẹt trên phân phối thống nhất hai tham số.$\mathbb E[g(T(x))] = 0$$g(T(x)) = 0$

Tôi đã thử chơi xung quanh với và sử dụng phân phối chung của và , nhưng tôi không chắc liệu mình có đi đúng hướng hay không, vì tính toán đang làm tôi vấp ngã.$\mathbb E[g(Y_1, Y_n)]$$Y_1$$Y_n$

Chúng ta hãy giải quyết các phép tính thông thường cho bạn, để bạn có thể đi vào trọng tâm của vấn đề và tận hưởng việc đưa ra giải pháp. Nó đi xuống để xây dựng các hình chữ nhật là sự hợp nhất và sự khác biệt của hình tam giác.

Đầu tiên, chọn giá trị của $a$ và $b$ làm cho các chi tiết càng đơn giản càng tốt. Tôi thích $a=0,b=1$ : mật độ đơn biến của bất kỳ thành phần nào của $X=(X_1,X_2,\ldots,X_n)$ chỉ là hàm chỉ thị của khoảng $[0,1]$ .

Hãy tìm hàm phân phối $F$ của $(Y_1,Y_n)$ . Theo định nghĩa, với mọi số thực $y_1 \le y_n$ thì đây là

$$F(y_1,y_n) = \Pr(Y_1\le y_1\text{ and } Y_n \le y_n).\tag{1}$$

Các giá trị của $F$ rõ ràng là $0$ hoặc $1$ trong trường hợp bất kỳ $y_1$ hoặc $y_n$ nằm ngoài khoảng $[a,b] = [0,1]$ , vì vậy hãy giả sử cả hai đều nằm trong khoảng này. (Chúng ta cũng giả sử $n\ge 2$ để tránh thảo luận về tầm thường.) Trong trường hợp này, sự kiện $(1)$ có thể được mô tả theo các biến ban đầu $X=(X_1,X_2,\ldots,X_n)$ là "ít nhất một trong số$X_i$ nhỏ hơn hoặc bằng$y_1$ và không có$X_i$ vượt quá." Tương tự, tất cảnằm trongnhưng không phải tất cả chúng đều nằm trong. $y_n$$X_i$$[0,y_n]$$(y_1,y_n]$

Vì là độc lập, xác suất của chúng nhân lên và cho và , tương ứng, cho hai sự kiện vừa được đề cập. Như vậy$X_i$$(y_n-0)^n = y_n^n$$(y_n-y_1)^n$

$$F(y_1,y_n) = y_n^n - (y_n-y_1)^n.$$

Mật độ $f$ là đạo hàm riêng của $F$ ,

$$f(y_1,y_n) = \frac{\partial^2 F}{\partial y_1 \partial y_n}(y_1,y_n) = n(n-1)(y_n-y_1)^{n-2}.$$

Trường hợp chung cho $(a,b)$ tỷ lệ các biến theo yếu tố $b-a$ và dịch chuyển vị trí theo $a$ . Như vậy, đối với $a \lt y_1 \le y_n \lt b$ ,

$$F(y_1,y_n; a,b) = \left(\left(\frac{y_n-a}{b-a}\right)^n - \left(\frac{y_n-a}{b-a} - \frac{y_1-a}{b-a}\right)^n\right) = \frac{(y_n-a)^n - (y_n-y_1)^n}{(b-a)^n}.$$

Khác biệt như trước khi chúng ta có được

$$f(y_1,y_n; a,b) = \frac{n(n-1)}{(b-a)^n}(y_n-y_1)^{n-2}.$$

Hãy xem xét định nghĩa về tính đầy đủ. Đặt g là bất kỳ hàm đo lường nào của hai biến thực. Theo định nghĩa,$g$

$$\eqalign{E[g(Y_1,Y_n)] &= \int_{y_1}^b\int_a^b g(y_1,y_n) f(y_1,y_n)dy_1dy_n\\ &\propto\int_{y_1}^b\int_a^b g(y_1,y_n) (y_n-y_1)^{n-2} dy_1dy_n.\tag{2} }$$

We need to show that when this expectation is zero for all $(a,b)$, then it's certain that $g=0$ for any $(a,b)$.

Here's your hint. Let $h:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ be any measurable function. I would like to express it in the form suggested by $(2)$ as $h(x,y)=g(x,y)(y-x)^{n-2}$. To do that, obviously we must divide $h$ by $(y-x)^{n-2}$. Unfortunately, for $n\gt 2$ this isn't defined whenever $y-x$. The key is that this set has measure zero so we can neglect it.

Accordingly, given any measurable $h$, define

$$g(x,y) = \left\{\matrix{h(x,y)/(y-x)^{n-2} & x \ne y \\ 0 & x=y}\right.$$

Then $(2)$ becomes

$$\int_{y_1}^b\int_a^b h(y_1,y_n) dy_1dy_n \propto E[g(Y_1,Y_n)].\tag{3}$$

(When the task is showing that something is zero, we may ignore nonzero constants of proportionality. Here, I have dropped $n(n-1)/(b-a)^{n-2}$ from the left hand side.)

This is an integral over a right triangle with hypotenuse extending from $(a,a)$ to $(b,b)$ and vertex at $(a,b)$. Let's denote such a triangle $\Delta(a,b)$.

Ergo, what you need to show is that if the integral of an arbitrary measurable function $h$ over all triangles $\Delta(a,b)$ is zero, then for any $a\lt b$, $h(x,y)=0$ (almost surely) for all $(x,y)\in \Delta(a,b)$.

Although it might seem we haven't gotten any further, consider any rectangle $[u_1,u_2]\times [v_1,v_2]$ wholly contained in the half-plane $y \gt x$. It can be expressed in terms of triangles:

$$[u_1,u_2]\times [v_1,v_2] = \Delta(u_1,v_2) \setminus\left(\Delta(u_1,v_1) \cup \Delta(u_2,v_2)\right)\cup \Delta(u_2,v_1).$$

In this figure, the rectangle is what is left over from the big triangle when we remove the overlapping red and green triangles (which double counts their brown intersection) and then replace their intersection.

Consequently, you may immediately deduce that the integral of $h$ over all such rectangles is zero. It remains only to show that $h(x,y)$ must be zero (apart from its values on some set of measure zero) whenever $y \gt x$. The proof of this (intuitively clear) assertion depends on what approach you want to take to the definition of integration.