Xác suất của những người không đối mặt với đối tác của họ tại một bàn tròn

Nếu các cặp vợ chồng được ngồi ngẫu nhiên trên bàn tròn, cơ hội mà không ai được ngồi đối diện với đối tác của họ là gì?

Nếu có bốn người thì câu trả lời là 2/3.

Nếu có sáu thì đó là 8/15, tôi nghĩ vậy.

Sau đó, phương pháp từng bước của tôi, điền vào tất cả các khả năng và kết thúc với một tổng các giá trị dự kiến khác nhau, trở nên khá tốn công. Thú vị thay, một cách tiếp cận trực quan nhận được câu trả lời đúng cho 6 người dưới dạng (4/5) x (2/3), nhưng tôi đang đấu tranh để khái quát hóa điều này. Có một phương pháp gọn gàng, dẫn đến một công thức cho trường hợp 2n người (n cặp vợ chồng)?

probability

— John
nguồn

Câu trả lời:

Phân tích

Hãy đoán và sau đó cải thiện hệ thống đoán cho đến khi chính xác.

Bắt đầu bằng cách đoán câu trả lời là . Tất nhiên đó là sai. Để xem sai như thế nào, hãy gắn nhãn một đối tác trong mỗi cặp "Đỏ" và "Màu xanh" khác. Từ góc nhìn của bất kỳ cá nhân Đỏ nào, có một cơ hội rằng đối tác (Xanh) của họ sẽ ngồi đối diện với họ. Vì có cá thể màu đỏ, hãy trừ khỏi dự đoán ban đầu đó. $1$ $1/(2n-1)$ $n$ $n\times 1/(2n-1)$

Nhưng chờ đã - điều đó vẫn chưa hoàn toàn đúng, bởi vì tất cả các cặp vợ chồng đã được tính hai lần. Nếu một cặp vợ chồng ngồi đối diện, vẫn còn cặp vợ chồng, địa điểm và theo quan điểm của bất kỳ cá nhân Đỏ nào, khả năng họ là một phần của cặp vợ chồng thứ hai là . Do đó, chúng ta cần thêm lại . $n-1$ $2n-2$ $1/(2n-3)$ $\binom{n}{2}\times 1/(2n-1)\times 1/(2n-3)$

Nhưng bây giờ chúng tôi đã trải qua những đóng góp cho kết quả từ bộ ba của các cặp vợ chồng, mà chúng tôi cần phải sửa chữa. Và cứ thế, cho đến cuối cùng chúng tôi đã chứa được tất cả cặp vợ chồng trong công thức. (Tất nhiên, đây chỉ là Nguyên tắc Bao gồm - Loại trừ trong hành động.) $n$

Công thức kết quả là

\begin{matrix} (1) & \sum_{i = 0}^{n} (- 1)^{i} (\binom{n}{i}) \frac{1}{(2 n - 1) (2 n - 3) \dots (2 n - 2 i + 1)} =_{1} F_{1} (- n, - n + \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}) . \end{matrix}

$\sum_{i=0}^n (-1)^i \binom{n}{i} \frac{1}{(2n-1)(2n-3)\ldots (2n-2i+1)} = {_1}F_1\left(-n, -n+\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}\right).\tag{1}$

Tính toán

Đối với các số nguyên dương , hàm siêu bội của Kummer là một đa thức bậc theo . Từ sự biến đổi Kummer $n$ ${_1}F_1\left(-n, -n+\frac{1}{2}, z\right)$ $n$ $z$

_{1} F_{1} (- n, - n + \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}) = e^{- 1 / 2}_{1} F_{1} (\frac{1}{2}, - n + \frac{1}{2}, \frac{1}{2})

${_1}F_1\left(-n, -n+\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}\right) = e^{-1/2}\ {_1}F_1\left(\frac{1}{2}, -n+\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$

thật đơn giản để suy ra rằng giá trị giới hạn của xác suất khi tăng lên là . Sự hội tụ chậm: bạn phải nhân với để đạt được một chữ số thập phân bổ sung. Tuy nhiên, các giá trị chính xác (độ chính xác kép) có thể nhanh chóng được tính cho bất kỳ nào bằng cách lưu ý rằng các thuật ngữ trong tổng số bên trái của tăng chậm hơn so với quyền hạn của . Do đó, khi đạt , các giá trị mới về cơ bản sẽ bằng 0 so với (và trên thực tế, một phân tích gần hơn cho thấy rằng dừng tổng cộng bằng $n$ $e^{-1/2} \approx 0.6065306597\ldots$ $n$ $10$ $n$ $(1)$ $-1/2$ $i$ $52$ $e^{-1/2}$ $i=45$ sẽ làm việc).

Công thức này sẽ phá vỡ cho lớn hơn 10.000.000 trong môi trường tính toán nhất định do không chính xác trong bản ghi Gamma chức năng. Vấn đề phát sinh từ sự hủy bỏ trong các khác biệt phát sinh khi tính toán các thuật ngữ trong chuỗi. Một xấp xỉ tuyệt vời cho những khác biệt khi đủ lớn có thể được tìm thấy theo , trong đó là đạo hàm của ( hàm digamma ). Điều đó được thực hiện trong mã dưới đây, với chi phí nhỏ trong thời gian tính toán. $n$ $n$ $\psi(n-1/4)$ $\psi$ $\log \Gamma$

Thực hiện

Đoạn Rmã sau tính toán khoảng 20.000 giá trị độ chính xác kép mỗi giây.

f <- function(n) {
  h <- function(n) {
    ifelse(n < 1e6, lfactorial(n) - lfactorial(n-1/2), digamma(n+3/4)/2)
  }
  m <- min(n, 46)
  k <- 0:m
  x <- exp(h(n) - h(n-k) - lfactorial(k) - k*log(2)) * (-1)^k
  sum(x)
}

Ví dụ, chúng ta hãy theo dõi mức log(f(n))độ giới hạn của giá trị đối với lớn . Như đã nêu ở trên, mỗi hệ số trong thêm một vị trí thập phân của độ chính xác giới hạn. Vì vậy, chớ nhìn vào nơi thập phân trong logarit của tỷ lệ để , cho toàn bộ quyền hạn của từ qua : $-1/2$ $n$ $10$ $n$ $n^\text{th}$ $f(n)$ $e^{-1/2}$ $10$ $n=10^1$ $n=10^{14}$

> round(sapply(1:14, function(n) 10^n * (log(f(10^n)) + 1/2)), 3)

[1] -0.255 -0.251 -0.250 ... -0.250 -0.249 -0.249 -0.400

(Bảy giá trị đã được bỏ qua từ giữa, tất cả đều bằng -0.250.) Mẫu không đổi rõ ràng. Cuối cùng, với , nó bắt đầu bị hỏng, cho thấy mất độ chính xác. Cải thiện điều này có thể sẽ yêu cầu số học có độ chính xác cao. $n=10^{14}$

— whuber
nguồn

Bây giờ tôi biết PIE là viết tắt của từ gì!

— Matthew Graves

Tại sao phương pháp trực quan sẽ làm việc?

Hãy nghĩ về bảng như một bộ sưu tập các cặp; nghĩa là, thay vì chữ thập truyền thống Tây Bắc-Đông-Nam của một cây cầu, chúng ta nhìn nó giống như một cái bàn có hai hàng:

Bắc Nam

Tây đông

Nếu chúng ta coi Bắc là đối tác cao cấp của một cặp vợ chồng, thì có khả năng 1/3 là Nam sẽ là đối tác cơ sở của cặp vợ chồng đó, sau đó buộc Tây và Đông trở thành một cặp, và cơ hội 2/3 là Nam sẽ là thành viên của cặp đôi khác, và sau đó bộ cuối cùng cũng chắc chắn không phải là một cặp.

Khi chúng tôi mở rộng từ đến , chúng tôi chỉ cần thêm một hàng vào bảng: $n=2$ $n=3$

Tây Bắc-Đông Nam

Bắc Nam

Tây đông

Nếu chúng ta đặt Tây Bắc luôn là đối tác cao cấp của cặp vợ chồng đầu tiên, thì rõ ràng có khả năng có một cặp đôi và chúng ta có thể dừng lại, và có khả năng không có, và chúng ta có thể tiếp tục, với một vấn đề nhỏ hơn . $\frac{1}{5}$ $\frac{4}{5}$

Lưu ý rằng vấn đề nhỏ hơn là một vấn đề khác , tuy nhiên, "trùng hợp ngẫu nhiên" giống nhau. Thay vì có bốn người và hai cặp vợ chồng gặp rắc rối, chúng tôi phải có một cặp vợ chồng và hai người độc thân, và cơ hội để cặp đôi được ghép đôi là (vì những lý do tương tự như trước đây). $\frac{1}{3}$

Điều này cho chúng ta một cách tiếp cận đệ quy; chúng ta có thể nói về một vấn đề với hai tham số, , trong đó đề cập đến số lượng người và đề cập đến số lượng các cặp vợ chồng. Vì vậy mang lại cho chúng tôi (có nghĩa là, bốn cặp vợ chồng có 8 người cho chúng tôi cơ hội thất bại khi giao việc đầu tiên ghép đôi, và sau đó cơ hội thất bại cho 2 cặp vợ chồng và 6 người trong trường hợp chúng tôi sống sót), và sau đó chúng tôi cần mở rộng ra bốn trường hợp: $(n,c)$ $n$ $c$ $(8,4)$ $\frac{6}{7}(6,2)$ $\frac{1}{7}$ $(6,2)$

Cả hai cặp vợ chồng tiếp theo đều độc thân: $\frac{2*1}{6*5}(4,2)$
Một người độc thân, người còn lại là một cặp: $\frac{4*2*2}{6*5}(4,1)$
Cả hai đều ở các cặp khác nhau: (Lưu ý rằng , vì những lý do rõ ràng.) $\frac{4*2}{6*5}(4,0)$ $(4,0)=1$
Cả hai đã ở cùng một cặp: (Đây là một điều kiện mất) $\frac{4*1}{6*5}$

Nếu bạn trải qua và thực hiện tất cả các phép toán, tôi nghĩ rằng bạn kết thúc với cho trường hợp 8 người, không phải là . (Cao hơn vì cơ hội chúng tôi hoàn toàn chia tay các cặp vợ chồng sớm.) $\frac{20}{35}$ $\frac{6}{7}\frac{8}{15}$

Tôi không biết một mẹo ngay lập tức cho phép bạn chỉ sử dụng công thức kết hợp để có câu trả lời ở dạng đóng, nhưng có vẻ như có thể có một. [sửa: Xem câu trả lời của người tìm giải pháp.]

— Matthew Graves
nguồn

(+1) Bạn có thể nhận được một công thức ngay lập tức bằng cách sử dụng PIE.

— whuber

Cảm ơn Matthew. Tôi đã làm việc theo các dòng tương tự (suy nghĩ về các đường chéo có sẵn ở mỗi giai đoạn), nhưng cũng không thể biến nó thành một công thức kết hợp (mặc dù tôi thấy whuber nói rằng nó có thể được thực hiện).

— Giăng

Matthew: nếu bạn đúng khoảng 20/130, điều này có nghĩa là (6,2) là 2/3. Trực giác của tôi là nó luôn luôn là 2/3 sau bước đầu tiên. Theo logic của nhà toán học câm trong trò đùa cũ: farmdale.com/emp-jokes.shtml Tôi bị cám dỗ để đưa ra tuyên bố rằng câu trả lời chung là (2/3) x (2n-2) / (2n- 1) cho n cặp vợ chồng .... nhưng đã nói rằng, chính tôi làm việc cho trường hợp 8 người đang cho tôi 8/9 cho những gì bạn đã gắn nhãn (6,2) thay vì câu trả lời của bạn là 2/3

— John

@ John, đó không phải là trình tự tôi có trong đầu. Tuy nhiên, có vẻ như 8.3 ở trên .7, vì vậy tôi nghĩ đó là một "sự trùng hợp" khác, 6,2 là 2/3. Đối với 6,2, 8/9 là cơ hội sống sót quá cao; giả sử người đầu tiên bạn chọn là một phần của một cặp. Sau đó, có một cơ hội 1/5 mà bạn chọn đối tác của họ và mất. (Nếu chúng là một phần của một người độc thân, rõ ràng là tất cả các lượt chọn có thể dẫn đến 4.2 hoặc 4,1, trong trường hợp đó cơ hội thua là 1/3.)

— Matthew Graves

À đúng rồi, bạn nói đúng (6,2). Tôi đã tiếp cận nó một chút khác nhau, điền từng vị trí một thay vì điền các đường chéo, nhưng tôi đã không tính đến thực tế là trong quá trình chuyển đổi từ (6,2) sang (5,1) sang (4,1) ) một số sự sắp xếp là thất bại (tức là một cặp vợ chồng ngồi đối diện nhau). Tương tự với (4,1) đến (3,0) đến (2,0). Tôi đã quá tập trung vào điểm cuối của quá trình, (2.0) so với (2.1). Tôi sẽ giữ nó.

— Giăng