Phân phối dạng bậc hai của bình thường

Tôi đang cố gắng tìm ra sự phân phối của trong đó , tôi biết rằng, lấy riêng từng điều khoản, và Nhưng tôi không chắc về việc phân phối (*)

(n - 1) Σ_{Tôi = = 1}^{n} Z_{Tôi}^{2} - {(Σ_{Tôi = = 1}^{n} Z_{Tôi})}^{2} (*)

$(n-1) \sum_{i=1}^n Z_i^2 - \left( \sum_{i=1}^n Z_i \right)^2 \qquad (*)$

Z_{i} \sim N (0, 1)

$Z_i \sim \mathcal{N}(0,1)$

Σ_{Tôi = = 1}^{n} Z_{Tôi}^{2} ~ χ^{2} (n)

$\sum_{i=1}^n Z_i^2 \sim \chi^2(n)$

\frac{1}{n} {(Σ_{Tôi = = 1}^{n} Z_{Tôi})}^{2} ~ χ^{2} (1) .

$\frac{1}{n}\left( \sum_{i=1}^n Z_i \right)^2 \sim \chi^2(1).$

probability distributions normal-distribution

— Chen Zailei
nguồn

Chào mừng đến với trang web của chúng tôi! Đây có phải là một câu hỏi từ một khóa học hoặc sách giáo khoa? Nếu vậy, xin vui lòng thêm [self-study]thẻ và đọc wiki của nó . Nếu không, sẽ rất thú vị khi biết vấn đề này phát sinh trong bối cảnh nào. Cảm ơn đã cho chúng tôi thấy những gì bạn đã làm và nơi bạn bị mắc kẹt

— Silverfish

@Silverfish Không, đây chỉ là thứ tôi đang cố gắng tìm ra. Tôi đã chắt lọc vấn đề xuống câu hỏi đơn giản này; vấn đề ban đầu của tôi khá phức tạp hơn một chút, tôi sợ! Vì vậy, tôi đã cố gắng chỉ hỏi phần tôi thực sự cần giúp đỡ. Nhưng, nếu điều này trông giống như một vấn đề trong sách giáo khoa, tôi sẽ rất thích tìm hiểu từ văn bản nào, hy vọng nó cung cấp thông tin liên quan :)

— Zailei Chen

Điều đó có vẻ hợp lý! Ngoài ra, cảm ơn bạn đã sử dụng bộ sắp chữ latex, chúng tôi luôn đánh giá cao nỗ lực này

— Silverfish

Đây là một nỗ lực :

Xem xét sao cho và với $Z=X-Y$ $X \sim \chi^2(\alpha)$ $Y \sim \chi^2(\beta)$ $\alpha \geq \beta$

M_{X} (t) = = {(1 - 2 t)}^{- α / 2}

$\mathcal{M}_X(t) = \left(1-2 \, t\right)^{-\alpha/2}$

M_{Y} (t) = = {(1 - 2 t)}^{- β / 2}

$\mathcal{M}_Y(t) = \left(1-2 \, t\right)^{-\beta/2}$

M_{Z} (t) = = M_{X} (t) M_{Y} (- t) = = {(1 - 2 t)}^{- α / 2} {(1 + 2 t)}^{- β / 2} = = (1 - 4 t^{2})^{- β / 2}

$\mathcal{M}_Z(t) = M_X(t)M_Y(-t) = \left(1-2 \, t\right)^{-\alpha/2}\left(1+2 \, t\right)^{-\beta/2} = (1-4t^2)^{-\beta/2}$

M_{Z} (t) = = (1 - 2 t)^{- n / 2} (1 + 2 t)^{- 1 / 2} = = (1 - 4 t^{2})^{- 1 / 2} (1 - 2 t)^{- (n - 1) / 2}

$\mathcal{M}_Z(t) = (1-2t)^{-n/2}(1+2t)^{-1/2} = (1-4t^2)^{-1/2} (1-2t)^{-(n-1)/2}$

Tôi không chắc chắn nếu nó có thể được giảm xuống thành một MGF có thể hiểu được.

— quyền lợi
nguồn

Một số cuộc thảo luận về một tình huống chung hơn một chút xuất hiện tại stats.stackexchange.com/questions/72479 , với một tham chiếu đến một bài báo cung cấp một xấp xỉ.

— whuber