Rễ dự kiến của đa thức ngẫu nhiên bậc hai

Giả sử là các biến ngẫu nhiên có phân phối đồng đều trên . Tôi quan tâm đến các gốc dự kiến của đa thức , là các biến ngẫu nhiên phức tạp được đưa ra bởi và $A,B,C$ $[-1,1]$ $Ax^2 + Bx + C$

Z_{1} = \frac{- B + \sqrt{B^{2} - 4 A C}}{2 A}

$Z_1 = \frac{-B+\sqrt{B^2-4AC}}{2A}$

Z_{2} = \frac{- B - \sqrt{B^{2} - 4 A C}}{2 A} .

$Z_2 = \frac{-B-\sqrt{B^2-4AC}}{2A}.$

Thực hiện mô phỏng, tôi đã tính và

E [Z_{1}] \approx 0.3559 + 0.0005 i

$E[Z_1] \approx 0.3559 + 0.0005i$

E [Z_{2}] \approx - 0.6421 - 0.0005 i .

$E[Z_2] \approx -0.6421 - 0.0005i.$

Để xác nhận lại, tôi cần tính toán các giá trị này một cách toán học. Chẳng hạn, đối với , điều này có nghĩa là tính tích phân $E[Z_1]$

\frac{1}{8} \int_{- 1}^{1} \int_{- 1}^{1} \int_{- 1}^{1} \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} d a d b d c .

$\frac{1}{8}\int_{-1}^1 \int_{-1}^1 \int_{-1}^1 \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\ da\ db\ dc.$

Thật không may, có vẻ như tích phân này có các giá trị khác nhau khi chúng ta thay đổi thứ tự tích hợp. Tôi đã cố gắng tính toán với Wolframalpha. Nó cho tôi số không hoặc không thể tính toán tùy theo thứ tự. Có lẽ điều này là do thuật ngữ đi đến vô cùng trong khoảng thời gian tích hợp, vì vậy chúng ta không thể sử dụng Định lý Fubini. Tôi không chắc liệu Wolframalpha chỉ thất bại trong việc tính toán một số tích phân hay thực sự không được xác định. Kịch bản thứ hai này có nghĩa là không có giá trị mong đợi, do đó, đa thức ngẫu nhiên không có gốc dự kiến. Tôi nghĩ rằng đây là một kịch bản kỳ lạ, do đó tôi thực sự cần phải xác nhận xem đây có phải là trường hợp hay không. $\frac{1}{2a}$ $E[Z_1]$ $Z_1$ $Ax^2 + Bx + C$

uniform polynomial

— Tích phân
nguồn

Khi (với xác suất khoảng 0,6272) thì phần ảo là 0, nếu không thì khác không, và khi nó khác không, cường độ trung bình của phần ảo sẽ tương ứng khoảng 2,68 lần như lớn như bạn nhận được bằng cách tính trung bình trên cả hai trường hợp. Bạn có chắc chắn bạn có ý định trung bình trên cả hai trường hợp? Các giá trị của nằm trong phạm vi -4 đến 5 và phân phối không đối xứng. Trên thực tế, nó trông giống như chiếc mũ của Gandalf

Δ = B^{2} - 4 A C \geq 0

$\Delta=B^2-4AC\geq 0$

Δ

$\Delta$

— Glen_b -Reinstate Monica

Bạn và không được xác định rõ cho đến khi bạn đã thực hiện một sự lựa chọn trong đó phức tạp gốc để dùng. Sự lựa chọn đó ảnh hưởng đến sự phân phối của họ.

Z_{1}

$Z_1$

Z_{2}

$Z_2$

— whuber

Họ không được đưa ra rõ ràng. Mỗi số có hai căn bậc hai phức tạp. Bạn phải chọn cái nào sẽ được sử dụng cho và cái nào cho .

Z_{1}

$Z_1$

Z_{2}

$Z_2$

— whuber

Không có giá trị duy nhất của, giả sử, . Đây là một trong hai giá trị phức tạp. Vì không có ai là thật, nên không có nghĩa gì khi gọi một từ "tích cực" hoặc "tiêu cực" khác: bạn phải đưa ra lựa chọn về việc nên gán cái nào cho và cái nào cho . Phần mềm của bạn phải đưa ra lựa chọn cho bạn - nhưng điều đó không có nghĩa đó là lựa chọn duy nhất. Xem en.wikipedia.org/wiki/Branch_point , ví dụ.

\sqrt{i}

$\sqrt{i}$

Z_{1}

$Z_1$

Z_{2}

$Z_2$

— whuber

Sự khác biệt giữa và , khác nhau tùy theo dấu hiệu nào đứng trước căn bậc hai, rõ ràng là sự phân biệt giữa tích cực và tiêu cực. Quan sát của bạn tuy nhiên cho thấy rằng cuối cùng nó không thành vấn đề. Tuy nhiên, kết quả cụ thể của bất kỳ mô phỏng nào phụ thuộc vào một số quy ước như vậy.

Z_{1}

$Z_1$

Z_{2}

$Z_2$

— whuber

Bạn và không được xác định rõ cho đến khi bạn đã thực hiện một sự lựa chọn trong đó phức tạp gốc để dùng. Sự lựa chọn đó có thể ảnh hưởng đến sự phân phối của họ. (Nó thực sự không, nhờ vào các đối xứng của , và khoảng ) $Z_1$ $Z_2$ $A$ $B$ $C$ $0$

Bất kể, vì được xác định rõ, giả sử bạn đã đưa ra lựa chọn như vậy và có những kỳ vọng hữu hạn. Từ sự độc lập của và và thực tế là mật độ của không đạt tới 0 gần , từ đó tôi đã nghe nói rằng các tỷ lệ hoặc nghịch đảo của các biến ngẫu nhiên thường có vấn đề, không có kỳ vọng. Tại sao vậy? rằng không có kỳ vọng. Nhưng vì , điều đó tạo ra mâu thuẫn chứng minh ít nhất một trong số và không thể có kỳ vọng. $Z_1+Z_2=-B/A$ $Z_i$ $A$ $B$ $A$ $A=0$ $-B/A$ $E[-B/A]=E[Z_1+Z_2]$ $Z_1$ $Z_2$

Bạn cũng có thể lập luận từ tính đối xứng của vấn đề này rằng kỳ vọng của , nếu nó tồn tại, phải bằng không. (Phân phối của và phân phối là như nhau, nhưng các phân phối tương ứng của là phủ định của mỗi khác. Ergo , kỳ vọng của họ cũng phải là phủ định của nhau.) Do đó, kỳ vọng của mỗi chỉ là . Điều này có một biểu thức đơn giản hơn như là một tích phân: $\sqrt{B^2-4AC}/(2A)$ $(A,B,C)$ $(-A,B,-C)$ $\sqrt{B^2-4AC}/(2A)$ $Z_i$ $E[-B/(2A)]$

E [- B / 2 A] = \frac{1}{4} \int_{- 1}^{1} \int_{- 1}^{1} - \frac{b}{2 a} d a d b

$E[-B/2A] = \frac{1}{4}\int_{-1}^1 \int_{-1}^1 -\frac{b}{2a} da db$

Chúng tôi có thể cố gắng đánh giá nó như một tích phân lặp (theo Định lý Fubini). Tuy nhiên, tích phân bên trong (đối với ) phân kỳ ở : $a$ $0$

lim_{t \to 0^{+}} \int_{t}^{1} \frac{- d a}{a} = lim_{t \to 0^{+}} \log (t) \to - \infty

$\lim_{t\to 0^{+}} \int_t^1 \frac{-da}{a} = \lim_{t\to 0^{+}}\log(t) \to -\infty$

trong khi

lim_{t \to 0^{-}} \int_{- 1}^{t} \frac{- d a}{a} = lim_{t \to 0^{-}} (- \log (- t)) \to \infty,

$\lim_{t\to 0^{-}} \int_{-1}^t \frac{-da}{a} = \lim_{t\to 0^{-}}(-\log(-t)) \to \infty,$

chứng minh nó là không xác định. Đó là lý do tại sao không hợp lệ để thay đổi thứ tự tích hợp - Định lý Fubini không áp dụng - để lấy cho tích phân trên và do đó nhận giá trị (sai) là cho kỳ vọng. $0$ $b$ $0$

Trong cả hai phân tích, nguồn gốc của khó khăn là rõ ràng: có mật độ không đáng kể trong bất kỳ vùng lân cận nào bằng không. $A$

— whuber
nguồn

Rễ dự kiến ​​của đa thức ngẫu nhiên bậc hai

Rễ dự kiến của đa thức ngẫu nhiên bậc hai