Phương sai tối đa của các biến ngẫu nhiên Gaussian

Cho các biến ngẫu nhiên lấy mẫu iid từ , xác định $X_1,X_2, \cdots, X_n$ $\sim \mathcal{N}(0, \sigma^2)$

Z = max_{i \in {1, 2, \dots, n}} X_{i}

$Z = \max_{i \in \{1,2,\cdots, n \}} X_i$

Chúng ta có $\mathbb{E}[Z] \le \sigma \sqrt{2 \log n}$ . Tôi đã tự hỏi nếu có bất kỳ giới hạn trên / dưới trên $\text{Var}(Z)$ ?

— ác quỷ
nguồn

Chỉ để giúp bạn bắt đầu, tôi nghĩ bạn sẽ thấy rằng

V a r (Z) \leq σ^{2}

$Var(Z) \le \sigma^2$ (đạt được sự bình đẳng ở n = 1) và Var (Z) giảm khi n tăng. Tôi để nó cho bạn để cung cấp ràng buộc chặt chẽ hơn như là một chức năng của n.

— Mark L. Stone

Tối đa mẫu trừ đi mẫu tối thiểu được gọi là phạm vi được sinh viên hóa và tuân theo phân phối phạm vi được sinh viên hóa nếu các biến ngẫu nhiên cơ bản là IID bình thường. Điều đó ít nhất có liên quan mơ hồ đến những gì bạn đang hỏi ... (có thể đưa ra một điểm khởi đầu để đọc). Quay lại câu hỏi cụ thể của bạn, tôi chắc chắn rằng bạn có thể viết một mô phỏng Monte-Carlo khá dễ dàng để tìm ra câu trả lời thực tế.

— Matthew Gunn

Cả hai câu trả lời cho stats.stackexchange.com/questions/105745 đều cung cấp các xấp xỉ cho độ lệch chuẩn (và do đó cho phương sai), sử dụng các phân tích có thể tạo ra giới hạn trên hoặc dưới.

— whuber

Liên quan: stats.stackexchange.com/questions/77110/ Google

— kjetil b halvorsen

Câu trả lời:

Bạn có thể đạt được giới hạn trên bằng cách áp dụng bất đẳng thức Talagrand: xem cuốn sách của Chatterjee (ví dụ hiện tượng siêu tập trung).

Nó cho bạn biết rằng . ${\rm Var}(f)\leq C\sum_{i=1}^n\frac{\|\partial_if\|_2^2}{1+\log( \|\partial_i f||_2/\|\partial_i f\|_1)}$

Đối với mức tối đa, bạn nhận được , sau đó bằng cách tích hợp với thước đo Gaussian trên bạn nhận được bằng cách đối xứng. (Ở đây tôi chọn tất cả rv iid của tôi với phương sai một). $\partial_if=1_{X_i=max}$ $\mathbb{R}^n$ $\|\partial_if\|_2^2=\|\partial_if\|_1=\frac{1}{n}$

Đây là thứ tự thực sự của phương sai: vì bạn có một số giới hạn trên về mức kỳ vọng tối đa, bài viết này của Eldan-Ding Zhai (Trên nhiều đỉnh và độ lệch vừa phải của Gaussian supremum) cho bạn biết rằng
${\rm Var}(\max X_i)\geq C/(1+\mathbb{E}[\max X_i])^2$

Cũng có thể có được sự bất bình đẳng nồng độ mạnh phản ánh các ràng buộc này về phương sai: bạn có thể xem tại http://www.wisdom.weizmann.ac.il/mathusers/gideon/ con / arDv.pdf hoặc, để biết thêm về quy trình gaussian , tại bài viết của tôi https://perso.math.univ-toulouse.fr/ktanguy/files/2012/04/Article-3-brouillon.pdf

Nói chung, khá khó để tìm đúng thứ tự độ lớn của phương sai của một siêu âm Gaussien vì các công cụ từ lý thuyết tập trung luôn luôn là tối ưu cho hàm tối đa.

Tại sao bạn cần những loại ước tính này nếu tôi có thể hỏi?

— Tanguy Kevin
nguồn

Lưu ý rằng bất đẳng thức Talagrand, là sự cải thiện của bất đẳng thức Poincaré được thỏa mãn bằng thước đo Gaussian tiêu chuẩn. Có nhiều hơn về điều này trong bài viết của Cordero-Ledoux "Các biện pháp siêu hấp dẫn, sự bất bình đẳng và ảnh hưởng của Talagrand".

— Tanguy Kevin

Cảm ơn rất nhiều. Điều này giúp rất nhiều. Tôi đã xử lý vấn đề mà tôi đang cố gắng ràng buộc xác suất lỗi trong việc ước tính độ dài chạy 0 trong một luồng bit từ các quan sát thông qua kênh xóa. Sau khi xấp xỉ Gaussian, max dường như là một công cụ ước tính tự nhiên và tôi thấy ràng buộc hiệu suất của nó khá không tầm thường. Trong vấn đề cụ thể của tôi, tôi có thể tìm ra cách khắc phục bằng cách giảm nó thành vấn đề ước tính MMSE Gaussian.

— Ác quỷ

Tổng quát hơn, kỳ vọng và phương sai của phạm vi phụ thuộc vào mức độ béo của phân phối của bạn. Đối với phương sai, đó là trong đó phụ thuộc vào phân phối của bạn ( cho đồng phục, cho Gaussian và cho cấp số nhân.) Xem tại đây . Bảng dưới đây cho thấy thứ tự cường độ cho phạm vi. $O(n^{-B})$ $B$ $B = 2$ $B = 1$ $B = 0$

— Vincent Granville
nguồn