Phân phối có điều kiện của biến ngẫu nhiên thống nhất cho thống kê đơn hàng

9

Tôi có câu hỏi sau đây:

Giả sử $U,V$ là các biến ngẫu nhiên iid theo Unif $(0,1)$ . phân phối có điều kiện của $U$ cho $Z:=\max(U,V)$ gì?

Tôi đã thử viết $Z=\Bbb{I}\cdot V+(1-\Bbb{I})\cdot U$ trong đó $\Bbb{I}=\begin{cases}1&U<V\\0&U>V\end{cases}$

Nhưng tôi không đi đâu cả.

— Qwerty
nguồn

3

Điều này có thể sai, nhưng ở đây đi. Nếu

U

$U$ là tối đa, sau đó

U = Z

$U=Z$ . Nếu không,

U < V = Z

$U<V=Z$ , vì vậy

U

$U$ sẽ đồng nhất trên

[0, Z]

$[0,Z]$ . Hai trường hợp nên có xác suất bằng nhau, vậy

U

$U$ có hỗn hợp hai phân phối không?

— GeoMatt22

Đăng chéo tại math.stackexchange.com/questions/1905481/ .

— StubbornAtom

4

Một hình ảnh có thể giúp đỡ. Phân phối đồng đều độc lập trên khoảng có thể được coi là phân phối đồng đều trên bình phương đơn vị . Sự kiện là các khu vực trong quảng trường và xác suất của họ là khu vực của họ. $[0,1]$ $I^2 = [0,1]\times [0,1]$

Đặt là giá trị có thể có của . Tập hợp tọa độ trong đó tạo thành các cạnh trên và phải của một hình vuông cạnh . Đặt là một số dương nhỏ. Tập hợp tọa độ có cực đại nằm giữa và tạo thành một độ dày hẹp của hình vuông đó, như được tô bóng trong hình. Diện tích của nó là sự khác biệt của các khu vực của hai hình vuông, một bên và bên kia là , từ đó $z$ $\max(U,V)$ $(U,V)$ $\max(U,V)=z$ $z$ $dz$ $(U,V)$ $z$ $z+dz$ $z+dz$ $z$

\begin{matrix} (1) & Pr (z \leq Z \leq z + d z) = (z + d z)^{2} - z^{2} = 2 z d z + (d z)^{2} . \end{matrix}

$\Pr(z \le Z \le z+dz) = (z+dz)^2 - z^2 = 2z\,dz + (dz)^2.\tag{1}$

Đặt là bất kỳ giá trị có thể nào của : nó được đánh dấu bằng một đường đứt nét dọc trong các hình. $u$ $U$

Bảng điều khiển bên trái hiển thị trường hợp : Cơ hội rằng sẽ là khu vực bên trái của dòng đó (bằng ); nhưng sự kiện mà và nằm giữa và chỉ là khu vực bóng mờ màu nâu. Đó là một hình chữ nhật, vì vậy diện tích của nó là chiều rộng gấp chiều cao của nó . Như vậy $u \le z$ $U\le u$ $u$ $U\le u$ $Z$ $z$ $z+dz$ $u$ $dz$

\begin{matrix} (2) & Pr (U \leq u, z \leq Z \leq z + d z) = u d z . \end{matrix}

$\Pr(U \le u, z \le Z \le z+dz) = u\,dz.\tag{2}$

Bảng bên phải hiển thị trường hợp . Bây giờ cơ hội mà và bao gồm hai hình chữ nhật. Cái trên cùng có cơ sở và chiều cao ; bên phải có cơ sở và chiều cao . vì thế $z \lt u \le z+dz$ $U \le u$ $z \lt Z \le z+dz$ $u$ $dz$ $(u-z)$ $z+dz$

\begin{matrix} (3) & Pr (U \leq u, z \leq Z \leq z + d z) = u d z + (u - z) (z + d z) . \end{matrix}

$\Pr(U \le u, z \le Z \le z+dz) = u\, dz + (u-z)(z+dz).\tag{3}$

Theo định nghĩa, xác suất có điều kiện là những cơ hội này chia cho tổng cơ hội mà , được đưa ra trong ở trên. Chia và cho giá trị này. Để là vô hạn và giữ lại phần tiêu chuẩn của kết quả, tạo cơ hội có điều kiện trên . Do đó, khi , $z \le Z \le z+dz$ $(1)$ $(2)$ $(3)$ $dz$ $Z=z$ $0 \le u \le z$

Pr (U \leq u | Z = z) = \frac{u d z}{2 z d z + (d z)^{2}} = \frac{u}{2 z + d z} \approx \frac{u}{2 z} .

$\Pr(U \le u\,|\, Z=z) = \frac{u\,dz}{2z\,dz + (dz)^2} = \frac{u}{2z + dz} \approx \frac{u}{2z}.$

Khi , hãy viết cho và tính toán $z \lt u \le z+dz$ $u = z + \lambda dz$ $0 \lt \lambda \le 1$

Pr (U \leq u | Z = z) = \frac{u d z + (u - z) (z + d z)}{2 z d z + (d z)^{2}} = \frac{(z + λ d z) d z + (λ d z) (z + d z)}{2 z d z + (d z)^{2}} \approx \frac{1 + λ}{2} .

$\Pr(U \le u|Z=z) = \frac{u\, dz + (u-z)(z+dz)}{2z\,dz + (dz)^2} = \frac{(z + \lambda dz)dz + (\lambda dz)(z+dz)}{2z\,dz+(dz)^2}\approx\frac{1+\lambda}{2}.$

Cuối cùng, đối với , vùng màu nâu trong bảng bên phải đã tăng lên bằng với vùng màu xám, tỷ lệ của chúng là . $u \gt z+dz$ $1$

Các kết quả này cho thấy xác suất có điều kiện tăng tuyến tính từ đến khi tăng từ đến , sau đó bắn lên tuyến tính từ đến trong khoảng vô hạn giữa và , sau đó ở mức cho tất cả các lớn hơn . Đây là một biểu đồ: $0$ $z/(2z)=1/2$ $u$ $0$ $z$ $1/2$ $1$ $z$ $z+dz$ $1$ $u$

Vì là vô hạn, nên không thể phân biệt với một cách trực quan: cốt truyện nhảy từ độ cao đến . $dz$ $z$ $z+dz$ $1/2$ $1$

Đặt các công thức đã nói ở trên vào một công thức duy nhất được áp dụng cho bất kỳ nào có , chúng ta có thể viết hàm phân phối có điều kiện như $z$ $0 \lt z \le 1$

F_{U | Z = z} (u) = {\begin{cases} 0 & u \leq 0 \\ \frac{u}{2 z} & 0 < u \leq z \\ 1 & u > z . \end{cases}

$F_{U|Z=z}(u) = \left\{\begin{array}{ll} 0 & u \le 0 \\ \frac{u}{2z} & 0 \lt u\le z \\ 1 & u \gt z. \end{array} \right.$

Đây là một câu trả lời đầy đủ và nghiêm ngặt. Bước nhảy cho thấy hàm mật độ xác suất sẽ không mô tả đầy đủ phân phối có điều kiện ở giá trị . Tuy nhiên, tại tất cả các điểm khác, có mật độ . Nó bằng đối với , đối với (đạo hàm của đối với ) và đối với . Bạn có thể sử dụng "hàm tổng quát" để viết hàm này dưới dạng mật độ. Đặt là "mật độ tổng quát" tạo ra bước nhảy có cường độ $U=z$ $f_{U|Z=z}(u)$ $0$ $u\le 0$ $1/(2z)$ $0 \le u \lt z$ $u/(2z)$ $u$ $0$ $u \gt z$ $\delta_z$ $1$ tại : đó là "mật độ" của một nguyên tử xác suất đơn vị nằm ở . Sau đó, mật độ tổng quát tại có thể được viết để diễn tả thực tế rằng xác suất được tập trung tại . Đầy đủ, chúng tôi có thể viết $z$ $z$ $z$ $\frac{1}{2}\delta_z$ $1/2$ $z$

f_{U | Z = z} (u) = {\begin{cases} 0 & u \leq 0 \\ \frac{1}{2 z} & 0 < u < z \\ \frac{1}{2} δ_{z} (u) & u = z \\ 0 & u > z . \end{cases}

$f_{U|Z=z}(u) = \left\{\begin{array}{ll} 0 & u \le 0 \\ \frac{1}{2z} & 0 \lt u\lt z \\ \frac{1}{2}\delta_z(u) & u=z \\ 0 & u \gt z. \end{array} \right.$

— whuber
nguồn

4

Trước tiên hãy xem xét phân phối của điều kiện tối đa trên . tối đa trở thành bằng trong trường hợp có xác suất có điều kiện . Nếu không, có một số giá trị lớn hơn bằng để . Do đó, phân phối có điều kiện tổng thể sẽ là một hỗn hợp giữa một khối lượng điểm tại (có kích thước u) và mật độ đồng nhất trên (tích hợp với ). Biểu thị khối lượng điểm bằng hàm delta Dirac, hàm mật độ xác suất tổng quát (gpdf) của phân phối có điều kiện này là $Z$ $U=u$ $Z$ $u$ $V<u$ $u$ $Z$ $u$ $V$ $u$ $(u,1)$ $1-u$

f_{Z | U = u} (z) = u δ (z - u) + {\begin{cases} 1 & for u < z < 1 \\ 0 & otherwise . \end{cases}

$f_{Z|U=u}(z) = u\delta(z-u) + \begin{cases} 1 & \text{for }u<z<1 \\ 0 &\text{otherwise}. \end{cases}$ Gpdf chung của và sau đó là started pdf của mức tối đa là . Do đó, gpdf có điều kiện của với tối đa trở thành started

Z

$Z$

U

$U$

\begin{aligned} f_{Z, U} (z, u) & = f_{Z | U = u} (z) f_{U} (u) \\ = u δ (z - u) + {\begin{cases} 1 & for 0 < u < z < 1 \\ 0 & otherwise . \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align} f_{Z,U}(z,u) &= f_{Z|U=u}(z)f_U(u) \\ &= u\delta(z-u) + \begin{cases} 1 & \text{for }0<u<z<1 \\ 0 &\text{otherwise}. \end{cases} \end{align}$

f_{Z} (z) = 2 z

$f_Z(z)=2z$

U

$U$

Z

$Z$

\begin{aligned} f_{U | Z = z} (u) & = \frac{f_{Z, U} (z, u)}{f_{Z} (z)} \\ = \frac{1}{2} δ (z - u) + {\begin{cases} \frac{1}{2 z} & for 0 < u < z \\ 0 & otherwise, \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align} f_{U|Z=z}(u) &= \frac{f_{Z,U}(z,u)}{f_Z(z)} \\ &= \frac12\delta(z-u) + \begin{cases} \frac1{2z} & \text{for }0<u<z \\ 0 &\text{otherwise}, \end{cases} \end{align}$

z

$z$ với xác suất 1/2 và mật độ đồng đều trên tích hợp đến 1/2.

(0, z)

$(0,z)$

— Tuleo
nguồn

Chà, +1 cho sự giúp đỡ tuyệt vời của bạn !! Nhưng tôi có một vấn đề .. Tôi không biết chức năng DIRAC DELTA. ... Vì vậy, nó có thể được thực hiện mà không có nó?

— Qwerty

1

Tôi không biết. Có vẻ như một cách thuận tiện để đại diện cho một phân phối là một phần rời rạc và một phần liên tục. Một chủ đề tại math.stackexchange có một số thảo luận thêm.

— Jarle Tufto