Lăn một con súc sắc cho đến khi nó rơi vào bất kỳ số nào ngoài 4. Xác suất kết quả là> 4 là bao nhiêu?

20

Một người chơi được cho một cái chết sáu mặt công bằng. Để giành chiến thắng, cô phải quay một số lớn hơn 4 (tức là 5 hoặc 6). Nếu cô ấy lăn 4, cô ấy phải lăn lại. Tỷ lệ thắng của cô ấy là gì?

Tôi nghĩ rằng xác suất thắng , có thể được biểu thị đệ quy như sau: $P(W)$

P (W) = P (r = 5 \cup r = 6) + P (r = 4) \cdot P (W)

$P(W) = P(r = 5 \cup r = 6) + P(r = 4) \cdot P(W)$

Tôi đã xấp xỉ là bằng cách chạy 1 triệu thử nghiệm trong Java, như thế này: $P(W)$ $0.3999$

import java.util.Random;
public class Dice {

    public static void main(String[] args) {
        int runs = 1000000000;
        int wins = 0;
        for (int i = 0; i < runs; i++) {
            wins += playGame();
        }
        System.out.println(wins / (double)runs);
    }

    static Random r = new Random();

    private static int playGame() {
        int roll;
        while ((roll = r.nextInt(6) + 1) == 4);
        return (roll == 5 || roll == 6) ? 1 : 0;
    }
}

Và tôi thấy rằng người ta có thể mở rộng như thế này: $P(W)$

P (W) = = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} (\frac{1}{3} + \frac{1}{6} (\frac{1}{3} + \frac{1}{6})) . . .

$P(W) = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{6}\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{6}\right)\right)...$

Nhưng tôi không biết làm thế nào để giải quyết loại quan hệ tái phát này mà không cần dùng đến loại gần đúng này. Có thể không?

probability

— tronbabylove
nguồn

6

Đó là rất nhiều nỗ lực để thiết lập mối quan hệ tái phát. Bạn có lý do chính đáng để tin rằng câu trả lời là 0,4. Đó là một gợi ý mạnh mẽ rằng có một cách khác để nghĩ về vấn đề giúp bạn có câu trả lời trực tiếp. Tìm nó. Câu trả lời của Geomatt sẽ đưa bạn đến đó, điều này sẽ giúp bạn hiểu những gì đang diễn ra ở đây và thậm chí giúp bạn đơn giản hóa các vấn đề khác mà bạn gặp phải nhanh hơn mà không cần nỗ lực này. Nếu một vấn đề có vẻ phức tạp dường như có một câu trả lời đơn giản, bạn nên luôn luôn đầu tư thời gian để cố gắng tìm hiểu tại sao. Trả cổ tức rất lớn sau đó.

— Joel

8

Một khi bạn nhận ra rằng do xác suất bằng nhau của cả sáu kết quả và tính độc lập của các cuộn, không có gì đặc biệt về bất kỳ kết quả cụ thể nào của thí nghiệm này, rõ ràng là tất cả năm kết quả có thể đều có thể xảy ra như nhau.

— whuber

6

Tôi hơi thất vọng vì không ai đưa ra giải pháp Markov Chain hấp dẫn cho điều này :-) Math Stack Exchange có truyền thống cao quý về "giải pháp quá mức" mà dường như hiếm khi thấm vào Xác thực chéo ...

— Silverfish

2

Đó là 2/5 để chọn một trong số

từ

để mô phỏng của bạn có thể đúng.

{5, 6}

$\{5,6\}$

{1, 2, 3, 5, 6}

$\{1,2,3,5,6\}$

— toán học

2

Bài đăng này so với câu trả lời là những gì tôi tưởng tượng các nhà khoa học dữ liệu giống như các nhà thống kê.

— bdeonovic

47

Chỉ cần giải quyết nó bằng đại số:

\begin{aligned} P (W) & = = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} \cdot P (W) \\ \frac{5}{6} \cdot P (W) & = = \frac{2}{6} \\ P (W) & = = \frac{2}{5} . \end{aligned}

$\begin{aligned} P(W) &= \tfrac 2 6 + \tfrac 1 6 \cdot P(W) \\[7pt] \tfrac 5 6 \cdot P(W) &= \tfrac 2 6 \\[7pt] P(W) &= \tfrac 2 5. \end{aligned}$

— DSaxton
nguồn

2

Lưu ý rằng phép tính này chỉ hợp lệ vì Thuộc tính Markov mạnh giữ cho các chuỗi Markov rời rạc.

— Chill2Macht

Tôi không nhớ các chuỗi Markov rời rạc của mình, nhưng, tôi nguy hiểm, từ toán học đơn giản, ý bạn là mối quan hệ lặp lại chỉ có giá trị vì Tài sản Markov mạnh. Sau khi mối quan hệ được thiết lập, chúng tôi chỉ giải quyết cho x.

— josinalvo

Điều này có đúng không?

— josinalvo

1

@josinalvo: Về mặt kỹ thuật, câu hỏi là liệu P (W) trên cả hai mặt của phương trình có nghĩa giống nhau không. Tài sản Markov mạnh ngụ ý họ làm. Trong trường hợp không có tài sản đó, P (W) ở bên trái có nghĩa là "cơ hội để giành chiến thắng với cuộn này" và 1/6 * P (W) ở bên phải có nghĩa là "cơ hội để giành chiến thắng sau khi cán 4".

— MSalters

81

Lưu ý: Đây là câu trả lời cho câu hỏi ban đầu, thay vì tái diễn.

Nếu cô ấy cuộn 4, thì về cơ bản nó không được tính, vì cuộn tiếp theo là độc lập. Nói cách khác, sau khi lăn 4, tình huống giống như khi cô ấy bắt đầu. Vì vậy, bạn có thể bỏ qua 4. Sau đó, kết quả có thể quan trọng là 1-3 và 5-6. Có 5 kết quả khác nhau, 2 trong số đó là chiến thắng. Vậy câu trả lời là 2/5 = 0,4 = 40%.

— GeoMatt22
nguồn

8

Bạn có thể làm điều này trực tiếp hơn một chút: "Hãy xem xét cuộn đầu tiên không phải là 4. Sau đó, kết quả ..."

— Joel

2

Hầu hết mọi người đều trợn tròn mắt khi họ thấy hàng tấn toán học, vì vậy tôi thích môn này hơn. Về cơ bản, bạn đang loại bỏ 4 khỏi kết quả, vì vậy nó là 1, 2, 3, 5, 6. Rõ ràng là bạn có 40% cơ hội tại thời điểm đó.

— Nelson

Tôi nghĩ điều này từ tiêu đề, vì vậy chủ yếu chỉ lướt qua câu hỏi đầy đủ sau khi tôi nhấp vào nó. Nếu không tôi có lẽ đã nhầm lẫn bản thân và đoán thứ hai!

— GeoMatt22

1

@Nelson Tôi đã thấy nhiều người có mắt trợn tròn khi họ thấy loại lý do này trong một vấn đề xác suất hơn những người có mắt trợn tròn khi họ nhìn thấy

.

p = a + b p

$p=a+bp$

— JiK

Vâng. Đạo đức của câu chuyện là: đừng cố làm khó vấn đề hơn mức cần thiết.

— Jay

14

Các câu trả lời của dsaxton ( /stats//a/232107/90759 ) và GeoMatt22 ( /stats//a/232107/90759 ) đưa ra cách tiếp cận tốt nhất cho vấn đề. Một cách khác là nhận ra rằng biểu hiện của bạn

P (W) = = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} (\frac{1}{3} + \frac{1}{6} (\dots))

$P(W) = \frac13+\frac16\left(\frac13+\frac16(\cdots)\right)$

Thực sự là một sự tiến bộ hình học :

\frac{1}{3} + \frac{1}{6} \frac{1}{3} + \frac{1}{6^{2}} \frac{1}{3} + \dots

$\frac13+\frac16\frac13+\frac1{6^2}\frac13+\cdots$

Nói chung chúng ta có

Σ_{n = = 0}^{\infty} {một}_{0} q^{n} = = \frac{{một}_{0}}{1 - q}

$\sum_{n=0}^{\infty}a_0q^n = \frac{a_0}{1-q}$

vì vậy ở đây chúng tôi có

P (W) = = \frac{\frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{6}} = = \frac{1}{3} : \frac{5}{6} = = \frac{6}{15} = = \frac{2}{5} .

$P(W) = \frac{\frac13}{1-\frac16} = \frac13:\frac56=\frac{6}{15}=\frac25.$

Tất nhiên, cách để chứng minh công thức chung cho tổng tiến trình hình học, là sử dụng một giải pháp đại số tương tự như DSaxton.

— Meni Rosenfeld
nguồn

@William, tôi không nghĩ bình luận của bạn phù hợp vì nhiều lý do. 1. Tôi không bao giờ nói rằng bạn cần loạt hình học cho việc này. 2. Các khái niệm bạn sử dụng trong câu trả lời của mình là máy móc nặng hơn nhiều, thật mỉa mai khi nói rằng "bạn không cần loạt hình học! Bạn chỉ cần thuộc tính Markov mạnh mẽ và tiên tiến hơn nhiều". 3. Một giải pháp đơn giản và nghiêm ngặt đã được cung cấp bởi dsaxton. Phương pháp của bạn là nhiều vòng và quá mức cho vấn đề này. 4. OP đã có một biểu thức tương đương với một loạt hình học, ai đó đã phải giải quyết điều đó, cũng có thể là tôi.

— Meni Rosenfeld

1

@William: Cuối cùng, câu trả lời của bạn là tốt, sâu sắc và là một bổ sung hữu ích cho bộ sưu tập các câu trả lời cho câu hỏi. Điều đó không có nghĩa là bạn nên đi đến mọi câu trả lời khác và nói rằng câu trả lời của bạn tốt hơn rất nhiều. Họ đều ổn cả. Không phải mọi thứ phải được tiếp cận theo cách trừu tượng và chung chung nhất có thể.

— Meni Rosenfeld

Đã được một thời gian kể từ khi tôi là một chuyên gia toán học, vì vậy tôi xin lỗi nếu câu trả lời của tôi thiếu nghiêm ngặt. (Chỉ xin vui lòng đừng nói với tôi rằng nó dựa vào tiên đề của sự lựa chọn , vì điều đó sẽ là nhục nhã!) :)

— GeoMatt22

3

Tất cả các câu trả lời trên đều đúng, nhưng chúng không giải thích tại sao chúng đúng và tại sao bạn có thể bỏ qua rất nhiều chi tiết và tránh phải giải quyết một mối quan hệ tái phát phức tạp.

Lý do tại sao các câu trả lời khác là chính xác là thuộc tính Strong Markov , đối với Chuỗi Markov rời rạc tương đương với thuộc tính Markov thông thường. https://en.wikipedia.org/wiki/Markov_property#Strong_Markov_property

Về cơ bản ý tưởng là biến ngẫu nhiên

$\tau:=($

là một thời gian dừng lại . https://en.wikipedia.org/wiki/Stopping_time Thời gian dừng là một biến ngẫu nhiên không phụ thuộc vào bất kỳ thông tin nào trong tương lai .

$n$ $\tau=n$ $\tau$

$\tau$ $X_{\tau}$

$\tau -1$ $\tau$ $X_{\tau} > 4$

P (X_{τ} > 4 | τ = = 1) = = P (X_{τ} > 4 | τ = = 2) = = \dots = = P (X_{τ} > 4 | τ = = 50, 000, 000) = = Giáo dục

$\mathbb{P}(X_{\tau}>4|\tau=1)=\mathbb{P}(X_{\tau}>4|\tau=2)=\dots = \mathbb{P}(X_{\tau}>4|\tau=50,000,000)=\dots$

$\tau=1$

P (X_{1} > 4 | X \neq 4) = = \frac{P (X_{1} > 4 \cap X_{1} \neq 4)}{P (X_{1} \neq 4)} = = \frac{P (X_{1} > 4)}{P (X_{1} \neq 4)} = = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{5}{6}} = = \frac{1}{3} \cdot \frac{6}{5} = = \frac{2}{5}

$\mathbb{P}(X_1>4|X\not=4) = \frac{\mathbb{P}(X_1 > 4 \cap X_1 \not=4)}{\mathbb{P}(X_1 \not= 4)} = \frac{\mathbb{P}(X_1 > 4)}{\mathbb{P}(X_1 \not=4)}=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{5}{6}}=\frac{1}{3}\cdot\frac{6}{5}=\frac{2}{5}$

Bạn có thể đọc thêm về thời gian dừng và thuộc tính Strong Markov trong Phần 8.3 của (phiên bản thứ 4) Lý thuyết xác suất và ví dụ của Durrett , p. 365.

— Chill2Macht
nguồn

Theo như tôi có thể nói từ mục wiki, sự tồn tại của thời gian dừng là cần thiết nhưng không đủ để nói rằng một loạt các sự kiện thể hiện SMP. Xin lỗi nếu tôi thiếu một trò đùa trong sáng hoặc sâu sắc, nhưng tại sao không chỉ cho rằng các cuộn là độc lập và tiếp tục với nó?

— Jacob Raihle

@JacobRaihle "Tài sản Markov mạnh, đối với Chuỗi Markov rời rạc tương đương với tài sản Markov thông thường." Kịch bản này rõ ràng cấu thành một chuỗi Markov rời rạc. Các cuộn là độc lập, đó là lý do tại sao đó là một chuỗi Markov rời rạc. Vấn đề là sự kiện "cuộn đầu tiên không hạ cánh trên 4" không độc lập với các cuộn trước đó, vì những lý do rõ ràng là hy vọng.

— Chill2Macht

Rõ ràng là các cuộn là độc lập. Vậy SMP mang lại lợi ích gì thêm?

— Jacob Raihle

@JacobRaihle Mặc dù giá trị của các cuộn là độc lập, giá trị của con súc sắc lần đầu tiên rơi vào giá trị không bằng 4 KHÔNG độc lập với các giá trị mà con súc sắc rơi vào các cuộn trước đó.

— Chill2Macht

Nó nên được, vì lăn dừng lại ngay khi điều đó xảy ra. Không thể có cuộn không phải 4 mà cũng không phải là cuộn đầu tiên. Và ngay cả khi đó không phải là trường hợp, tôi không chắc bạn đang gợi ý mối quan hệ nào.

— Jacob Raihle

1

Một cách khác để xem xét vấn đề.

Hãy gọi 'kết quả thực' là 1,2,3,5 hoặc 6.

Xác suất chiến thắng ở lượt đầu tiên là bao nhiêu, nếu bạn có "kết quả thực"? 2/5

Xác suất chiến thắng ở lần quay thứ hai là bao nhiêu, nếu lần quay thứ hai là lần đầu tiên bạn có "kết quả thực"? 2/5

Tương tự cho thứ ba, thứ tư.

Vì vậy, bạn có thể phá vỡ mẫu của mình trong (infinte) các mẫu nhỏ hơn và tất cả các mẫu đó đều cho cùng một xác suất.

— josinalvo
nguồn