Định nghĩa thường xuyên của xác suất; có tồn tại một định nghĩa chính thức?

Có bất kỳ định nghĩa chính thức (toán học) về những gì người thường xuyên hiểu theo '' xác suất ''. Tôi đọc rằng đó là tần suất xuất hiện tương đối '' trong thời gian dài '', nhưng có cách nào chính thức để xác định nó không? Có bất kỳ tài liệu tham khảo được biết đến nơi tôi có thể tìm thấy định nghĩa đó?

BIÊN TẬP:

Với người thường xuyên (xem bình luận của @whuber và nhận xét của tôi về câu trả lời @Kodiologist và @Graeme Walsh bên dưới câu trả lời đó) Tôi có nghĩa là những người '' tin '' rằng tần số tương đối dài này tồn tại. Có lẽ điều này (một phần) trả lời câu hỏi của @Tim cũng

TL; DR Có vẻ như không thể định nghĩa một định nghĩa xác suất thường xuyên phù hợp với khung Kolmogorov không hoàn toàn tuần hoàn (nghĩa là theo logic vòng tròn).

n

$$\underset{n \to \infty}{\lim} \frac{n_A}{n}$$ $n_A$

Nhưng tất cả các khái niệm hội tụ này đòi hỏi một thước đo về không gian xác suất được xác định là có ý nghĩa. Tất nhiên, sự lựa chọn trực quan sẽ là chọn sự hội tụ gần như chắc chắn. Điều này có tính năng giới hạn cần tồn tại theo chiều trừ khi xảy ra sự kiện đo bằng không. Cái gì tạo thành một bộ số đo bằng 0 sẽ trùng khớp với bất kỳ nhóm biện pháp nào hoàn toàn liên tục đối với nhau - điều này cho phép chúng ta xác định một khái niệm về sự hội tụ gần như chắc chắn làm cho giới hạn trên trở nên khắt khe trong khi vẫn hơi khó hiểu về những gì bên dưới thước đo cho không gian có thể đo được của các sự kiện là (nghĩa là vì nó có thể là bất kỳ biện pháp nào hoàn toàn liên tục đối với một số biện pháp được chọn). Điều này sẽ ngăn chặn tính tuần hoàn trong định nghĩa sẽ phát sinh từ việc sửa một biện pháp nhất định trước,

Tuy nhiên, nếu chúng ta đang sử dụng sự hội tụ gần như chắc chắn, thì điều đó có nghĩa là chúng ta đang tự giới hạn mình trong tình huống của luật mạnh về số lượng lớn (từ đó trở thành SLLN). Hãy để tôi nêu định lý đó (như được nêu trong trang 133 của Chung) để tham khảo ở đây:

Đặt là một chuỗi các biến ngẫu nhiên độc lập, được phân phối giống hệt nhau. Sau đó, chúng ta có trong đó .E | X 1 | < $\{X_n\}$E | X 1 | =

$$\mathbb{E}|X_1| < \infty \implies \frac{S_n}{n} \to \mathbb{E}(X_1)\quad a.s.$$ S n : = X 1 + X 2 + ⋯ + X $$\mathbb{E}|X_1| = \infty \implies \underset{n \to \infty}{\lim\sup}\frac{|S_n|}{n} = + \infty \quad a.s.$$ $S_n:= X_1 + X_2 + \dots + X_n$

Vì vậy, giả sử chúng ta có một không gian có thể đo được và chúng tôi muốn xác định xác suất của một số sự kiện đối với một số họ các biện pháp xác suất liên tục tuyệt đối lẫn nhau . Sau đó, bằng Định lý mở rộng Kolmogorov hoặc Định lý mở rộng Ionescu Tulcea (tôi nghĩ cả hai đều hoạt động), chúng ta có thể xây dựng một họ không gian sản phẩm , một cho mỗi . (Lưu ý rằng sự tồn tại của không gian sản phẩm vô hạn là kết luận của định lý Kolmogorov yêu cầu số đo của mỗi không gian là , do đó tại sao bây giờ tôi lại hạn chế xác suất, thay vì các biện pháp tùy ý). Sau đó xác địnhMột ∈ F { μ i } i ∈ I { ( pi ∞ k = 1 X j ) i } i ∈ I μ i 1 1 Một j 1 Một j 0 n Một = 1 Một 1 + 1 Một 2 + ⋯ + 1 A n . 0 ≤ E$(X, \mathscr{F})$$A \in \mathscr{F}$$\{\mu_i\}_{i \in I}$$\{(\prod_{j=1}^{\infty} X_j)_i\}_{i \in I}$$\mu_i$$1$$\mathbb{1}_{A_j}$ là biến ngẫu nhiên chỉ báo, nghĩa là bằng nếu xảy ra trong bản sao thứ và nếu không, nói cách khácSau đó, rõ ràng (trong đó biểu thị sự kỳ vọng đối với ), do đó, luật mạnh về số lượng lớn sẽ thực sự áp dụng cho (vì bằng cách xây dựng$1$$A$$j$$0$

$$n_A = \mathbb{1}_{A_1} + \mathbb{1}_{A_2} + \dots + \mathbb{1}_{A_n}.$$ $0 \le \mathbb{E}_i \mathbb{1}_{A_j} \le 1$$\mathbb{E}_i$$\mu_i$$(\prod_{j=1}^{\infty} X_j)_i$$\mathbb{1}_{A_j}$được phân phối chính xác và độc lập - lưu ý rằng được phân phối độc lập có nghĩa là số đo của không gian sản phẩm là nhân với các số đo tọa độ) vì vậy chúng tôi nhận được rằng và do đó, định nghĩa của chúng tôi về xác suất của đối với nhiên phải là . $$\frac{n_A}{n} \to \mathbb{E}_i \mathbb{1}_{A_1} \quad a.s.$$ $A$$\mu_i$$\mathbb{E}_1 \mathbb{1}_{A}$

Tuy nhiên, tôi mới nhận ra rằng mặc dù chuỗi các biến ngẫu nhiên sẽ hội tụ gần như chắc chắn đối với nếu và chỉ khi nó hội tụ gần như chắc chắn đối với , ( trong đó ) không nhất thiết có nghĩa là nó sẽ hội tụ đến cùng một giá trị ; thực tế, SLLN đảm bảo rằng nó sẽ không trừ khi không đúng về mặt tổng quát.$\frac{n_A}{n}$$\mu_{i_1}$$\mu_{i_2}$E i 1 1 A = E i 2 1$i_1, i_2 \in I$$\mathbb{E}_{i_1} \mathbb{1}_A = \mathbb{E}_{i_2} \mathbb{1}_A$

Nếu bằng cách nào đó "đủ kinh điển", giả sử như phân phối đồng đều cho một tập hợp hữu hạn, thì có lẽ điều này hoạt động tốt, nhưng không thực sự đưa ra bất kỳ hiểu biết mới nào. Cụ thể, đối với phân phối đồng đều, , nghĩa là xác suất của chỉ là tỷ lệ điểm hoặc sự kiện cơ bản trong mà thuộc về , một lần nữa dường như hơi tròn với tôi. Đối với một biến ngẫu nhiên liên tục, tôi không thấy làm thế nào chúng ta có thể đồng ý về lựa chọn "chính tắc" của .$\mu$$\mathbb{E}\mathbb{1}_A = \frac{|A|}{|X|}$$A$$X$$A$$\mu$

Tức là có vẻ hợp lý khi xác định tần suất của sự kiện là xác suất của sự kiện, nhưng có vẻ không hợp lý khi xác định xác suất của sự kiện là tần số (ít nhất là không có hình tròn). Điều này đặc biệt có vấn đề, vì trong cuộc sống thực, chúng ta không thực sự biết xác suất là gì; chúng ta phải ước tính nó

Cũng lưu ý rằng định nghĩa tần số này cho một tập hợp con của không gian có thể đo được phụ thuộc vào số đo được chọn là không gian xác suất; chẳng hạn, không có thước đo sản phẩm nào cho nhiều bản sao của tặng cho thước đo Lebesgue, vì . Tương tự, số đo của sử dụng thước đo sản phẩm chính tắc là , có thể thổi lên đến vô cùng nếu hoặc về 0 nếu , tức là các định lý mở rộng của Kolmogorov và Tulcea là những kết quả rất đặc biệt đặc biệt đối với các biện pháp xác suất . μ ( R ) = ∞ ∏ n j = 1 X ( μ ( X ) ) n μ ( X ) > 1 μ ( X ) < $\mathbb{R}$$\mu(\mathbb{R})=\infty$$\prod_{j=1}^n X$$(\mu(X))^n$$\mu(X) >1$$\mu(X) <1$

Tôi không nghĩ có một định nghĩa toán học, không. Sự khác biệt giữa các cách hiểu khác nhau về xác suất không phải là sự khác biệt về cách xác suất được xác định theo toán học. Xác suất có thể được định nghĩa toán học theo cách này: if là không gian đo với , thì xác suất của bất kỳ sự kiện nào chỉ là . Tôi hy vọng bạn đồng ý rằng định nghĩa này là trung lập cho các câu hỏi như liệu chúng ta nên diễn giải xác suất theo kiểu thường xuyên hay Bayes.$(Ω, Σ, μ)$$μ(Ω) = 1$L ( S $S ∈ Σ$$μ(S)$