Phân phối cho sản phẩm Kronecker của hai vectơ ngẫu nhiên đồng nhất trong hình cầu đơn vị?

Giả sử rằng hai vectơ ngẫu nhiên $x$ và $y$ được phân bố đồng đều trên mặt cầu đơn vị $S_{n-1}$. Có thể chỉ ra rằng sản phẩm Kronecker của$x$ và $y$ được phân bố đồng đều trên một tập hợp con của khối cầu $S_{n-1}\otimes S_{n-1}$?

Đúng. Điều này trở nên rõ ràng khi làm việc thông qua các định nghĩa.

Sản phẩm Kronecker

Quả cầu đơn vị $S^{n-1}$ là tập hợp các vectơ đơn vị trong không gian Euclide $E^n = \left(\mathbb{R}^n, ||\cdot ||\right)$ Ở đâu

$$||(x_1,x_2,\ldots,x_n)^\prime|| = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2}$$ là chỉ tiêu Euclide.

"Sản phẩm Kronecker" là sản phẩm tenor thông thường. Có một số cách để suy nghĩ về nó và tính toán với nó. Một là định nghĩa nó là một$n\times n$ ma trận

$$x \otimes y = x\, y^\prime = \pmatrix{x_1y_1 & x_1y_2 & \cdots & x_1y_n \\ x_2y_1 & x_2y_2 & \cdots & x_2y_n \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ x_ny_1 & x_ny_2 & \cdots & x_ny_n} \in \operatorname{Mat}\left(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n\right).$$

Một cách tương đương khác làm sáng tỏ các thành phần của ma trận này thành một vectơ với $n^2$ các thành phần, cho phép chúng tôi xem $x\otimes y$ như là một yếu tố của $\mathbb{R}^{n^2}$. Lưu ý rằng số liệu Euclide cho$\mathbb{R}^{n^2}$ có thể được viết

$$||Z||^2 = \operatorname{Tr}( Z Z^\prime ).\tag{1}$$

Cả hai đều là cách viết tổng bình phương của tất cả $n^2$ các thành phần.

Sản phẩm Kronecker tương thích với các số liệu Euclide trên $E^n$ và $E^{n^2}$ theo nghĩa

$$||x \otimes y||^2 = ||x||^2\,||y||^2.$$

Điều này dễ dàng được chứng minh, bởi vì phía bên trái được định nghĩa là tổng bình phương của tất cả các $x_i y_j$trong khi phía bên tay phải là sản phẩm của các hình vuông. Chỉ cần mở rộng sản phẩm đó:

$$||x \otimes y||^2 = \sum_i\sum_j (x_iy_j)^2 = \left(\sum_i x_i^2\right)\left(\sum_j y_j^2\right) = ||x||^2\,||y||^2.$$

Đặc biệt, khi cả hai $x$ và $y$ có chiều dài đơn vị, $x \otimes y$có chiều dài đơn vị. vì thế

$$S^{n-1}\otimes S^{n-1} \subset S^{n^2-1}.$$

Phân phối đồng phục

Các quả cầu Euclide thừa hưởng một thước đo từ thước đo thông thường trên các không gian Euclide (thước đo Lebesgue, cuối cùng được xác định bởi khoảng cách Euclide). Biện pháp đó được bảo toàn bởi bất kỳ hình học nào của một hình cầu, bởi vì (theo định nghĩa) một hình học bảo tồn khoảng cách và cuối cùng số đo được xác định bởi khoảng cách. Nhóm isometries của đơn vị hình cầu trong$\mathbb{R}^m$ được biểu thị $O(m)$, nhóm trực giao. Đó là một kết quả cổ điển, và đơn giản để chỉ ra rằng nó bao gồm các phép biến đổi tuyến tính được biểu thị bởi tất cả$m\times m$ ma trận $P$ mà $PP^\prime = P^\prime P = \mathbb{I}_m$.

Nhóm trực giao $O(n)$ hành động quá cảnh trên $S^{n-1}$. (Đây là một bằng chứng Euclid có thể đã thực hiện: chọn bất kỳ hai điểm khác biệt$x$ và $y$trên quả cầu. Vẽ đoạn thẳng$xy$giữa họ. Nó xác định một siêu phẳng duy nhất vuông góc với$xy$ đi qua điểm giữa của $xy$. Sự phản chiếu trong bản đồ siêu phẳng đó$S^{n-1}$ với chính nó và bảo tồn tất cả các khoảng cách, từ đó nó ở trong $O(n)$. Sự phản ánh đó hoán đổi$x$ và $y$, cho thấy có tồn tại một chuyển đổi trực giao gửi $x$ đến $y$.)

Để nói rằng "vectơ được phân phối đồng đều trên $S^{n-1}$"có nghĩa là phân phối là bất biến dưới một nhóm các hình học tương tự như $O(n)$.

Đây là punchline: "hypertorus" $S^{n-1}\otimes S^{n-1} \subset S^{n^2-1}$ thích một nhóm chuyển tiếp của isometries đẳng cấu với thương số của $O(n)\times O(n)$. Thật vậy, đưa ra một cách tùy tiện$x\otimes y\in S^{n-1}$ và cái khác $x_2\otimes y_2\in S^{n-1}$, chọn $P,Q\in O(n)$ mà $Px=x_2$ và $Qy=y_2$. Để cho$Z=(z_{ij})$ là bất kỳ $n\times n$ ma trận và định nghĩa

$$(P\otimes Q)(Z) = PZQ^\prime.\tag{2}$$

Đây là một hình học bởi vì, sử dụng công thức $(1)$,

$$\eqalign{ ||(P \otimes Q) (Z)||^2 &= \operatorname{Tr}\left((PZQ^\prime)(PZQ^\prime)^\prime\right) = \operatorname{Tr}\left(PZ Z^\prime P^\prime\right) = \operatorname{Tr}\left(PP^\prime Z Z^\prime \right) = \operatorname{Tr}\left(ZZ^\prime \right) \\ &= ||Z||^2.}$$

Các bước này khai thác tính trực giao của $P$ và $Q$ và thực tế là $\operatorname{Tr}(AB) = \operatorname{Tr}(BA)$ cho bất kỳ ma trận vuông $A$ và $B$.

Bởi vì hình học của $S^{n-1}$ gây ra một nhóm các hình học bắc cầu của $S^{n-1}\otimes S^{n-1}$ thông qua $(2)$, phân phối đồng phục (nghĩa là bất biến nhóm) trên $S^{n-1}$ được ánh xạ tới một bản phân phối thống nhất trên $S^{n-1}\otimes S^{n-1}$, QED .

Miễn là $x$ và $y$ là độc lập, sau đó những gì bạn nói là đúng.

Dễ dàng nhất để suy nghĩ về các góc hơn là các điểm trong không gian.

Ví dụ: trong hình cầu 2 chiều trong $\mathbb R^3$, chúng ta có thể tạo các điểm đồng đều trên bề mặt của quả cầu đó bằng cách lấy mẫu $\theta_1$ và $\theta_2$ độc lập với $U[0,2\pi]$ và lấy chúng làm thiên đỉnh và góc phương vị tương ứng.

Vì vậy, chúng ta có thể nghĩ về $x$ như $(\theta_1,...,\theta_{n-1}) \sim U[0,2\pi]^{n-1}$ và $y$ như $(\phi_1,...,\phi_{n-1}) \sim U[0,2\pi]^{n-1}$. KP của họ là$(\theta_1,...,\theta_{n-1},\phi_1,...,\phi_{n-1})$ và rõ ràng từ việc xây dựng theo phân phối thống nhất $U[0,2\pi]^{2n-2}$ cũng.