Có phải mất dần dần câu trả lời đúng EXTRA để di chuyển lên một đường cong chấm điểm trong các kỳ thi tiêu chuẩn?

Một đường cong chấm điểm của một năm trước cho một kỳ thi tôi sẽ ngồi là:

Giả sử bài kiểm tra có 100 (hoặc bất kỳ số lượng câu hỏi) nào có trọng số như nhau, liệu có mất ít câu trả lời đúng hơn để tăng phần trăm khi bạn di chuyển ra khỏi mức trung bình không?

Ví dụ: tôi sẽ cần ít câu trả lời đúng hơn để chuyển từ phân vị thứ 60 sang phân vị thứ 70, hơn là từ phân vị thứ 45 đến 55? Và nếu vậy, tại sao?

Lý do của tôi để tin rằng đây là trường hợp được tìm thấy trong một đường cong khác mà tôi có từ một kỳ thi được đánh dấu tương tự:

Biểu đồ này không hiển thị phần trăm, nhưng nhìn vào có vẻ như nó yêu cầu ít điểm hơn để tăng (hoặc giảm) phần trăm khi bạn rời khỏi mức trung bình. Lưu ý: 1 dấu hoa thị đại diện cho 4 sinh viên. Các con số trên LHS cho biết có bao nhiêu câu hỏi thô đúng. *

Tuy nhiên, tôi không thể nghĩ ra lý do chính thức cho việc này (kiến thức thống kê của tôi còn hạn chế).

Hay đó là trường hợp nói thêm 1 điểm trong bài kiểm tra sẽ đưa tôi lên đường cong phần trăm với cùng số lượng bất kể vị trí trên đường cong ban đầu tôi đang ngồi ở đâu?

FYI: Bài kiểm tra này không cung cấp cho chúng tôi AB hoặc C tùy thuộc vào% trong số 100 chúng tôi nhận được. Nó chỉ đơn giản là xếp hạng các sinh viên, vì vậy phần trăm thứ 100 (hay 99,99: điều này luôn làm tôi bối rối) sẽ là sinh viên hàng đầu, ngay cả khi họ chỉ trả lời đúng 50%.

Nếu bạn đang tự hỏi tại sao tôi muốn biết điều này. Bài kiểm tra của tôi có nhiều phần và chúng tôi được chấm điểm phần trăm cho mỗi phần. Tổng số điểm sau đó là trung bình của mỗi phần. Vì vậy, tùy thuộc vào câu trả lời cho câu hỏi của tôi, nó sẽ xác định xem tôi có học đều cho tất cả các phần của bài kiểm tra hay không (và nhằm mục đích nói 55, 55, 55), hoặc nghiêng việc học của tôi theo hướng các môn mạnh nhất của tôi để đẩy điểm đó " nhanh chóng "(và nhằm mục đích nói 45, 45, 80) lên đường cong phân vị.

normal-distribution quantiles curves

— K-Feldspar
nguồn

Ai đó cũng có thể vui lòng cho tôi biết nếu điều này sẽ là một câu hỏi tốt hơn cho việc trao đổi ngăn xếp toán học? Tôi đã tìm thấy thẻ phân phối bình thường trên cả trang đó và trang này.

— K-Feldspar

Đối với trực giác về hình dạng của đường cong phân vị, bạn có thể mô hình xem bạn có câu hỏi nào đúng như một thử nghiệm Bernoulli độc lập hay không . Nếu xác suất trả lời đúng từng câu hỏi là như nhau, thì tổng điểm của ai đó sẽ tuân theo phân phối Binomial (có thể xấp xỉ bằng phân phối chuẩn).

— Matthew Gunn

Cảm ơn bạn đã phản hồi. Tôi đã đọc qua các liên kết đó nhưng câu trả lời vẫn chưa rõ ràng đối với tôi (tôi không thể tìm ra cách thực hiện Thử nghiệm Bernoulli). Tuy nhiên, tôi đã tìm thấy 7sage.com/lsat-score-percentile-conversion này cho thấy điểm thô so với phần trăm cho một bài kiểm tra khác. Từ đó có vẻ như ngược lại với những gì tôi nghĩ là đúng. Nó cho thấy rằng khi chuyển từ 90 đến 100 câu hỏi đúng, bạn tăng 2% (như trong 2 phần trăm) nhưng khi chuyển từ 60 đến 70 câu hỏi đúng, bạn tăng 22% (như trong 22 phần trăm).

— K-Feldspar

Dựa trên điều này, tôi sẽ kết luận rằng rất khó để tăng phần trăm và sẽ yêu cầu các câu trả lời ngày càng chính xác hơn để tăng phần trăm khi bạn rời khỏi mức trung bình (nhưng điều này có vẻ mâu thuẫn với biểu đồ thứ 2 tôi đã đăng nếu tôi giải thích chính xác ).

— K-Feldspar

Tôi đã xóa bình luận cuối cùng của tôi bởi vì tôi là một đầu xương hoàn chỉnh (nó hoàn toàn sai). Nếu bạn nhìn vào đường cong phân vị, độ dốc cao nhất ở giữa. Đi từ 37 đến 39 phải hoặc từ 73 đến 75 phải ít ảnh hưởng đến tỷ lệ phần trăm của bạn hơn là đi từ 57 đến 59 phải. Nhận thêm một câu hỏi đúng có giá trị lớn nhất trên các phần mà bạn là trung bình.

— Matthew Gunn

Một số hiểu biết về lý do tại sao có thể được lượm lặt từ một mô hình đơn giản nhưng thực tế.

Đường cong hiển thị trong câu hỏi phù hợp với bài kiểm tra 46 câu hỏi, trong đó mỗi câu hỏi đóng góp vào tổng số điểm khi được trả lời đúng và nếu không thì không đóng góp gì. Điều này "nhất quán" theo nghĩa là phân phối điểm cực kỳ gần với những gì sẽ đạt được nếu mỗi học sinh đoán được từng câu hỏi một cách độc lập, với cơ hội đúng và cơ hội không chính xác $100/46 \approx 2$ $54.5\%$ $100-54.5 = 45.5\%$

Xem xét một số trường hợp gần cuối của quản lý kiểm tra. Bạn đã trả lời tất cả các câu hỏi; bạn không biết điểm của bạn; nhưng bạn đang dự tính thay đổi một số câu trả lời.

Giả sử điểm số của bạn (không biết đến bạn) ở giữa, bằng . Điều này tương ứng với số điểm thô là , cho thấy bạn có câu hỏi đúng và sai. Nếu bạn chọn một câu hỏi ngẫu nhiên và thay đổi nó, sẽ có cơ hội là đúng - và bạn sẽ biến câu trả lời của mình thành một câu hỏi sai - và chỉ có cơ hội là vậy không chính xác và bạn sẽ biến nó thành một chính xác. Do đó, việc tăng điểm của bạn khó hơn một chút so với giảm điểm. $54.5$ $54.5\% \times 46 = 25$ $25$ $46-25=21$ $25/46 = 54.5\%$ $45.5\%$
Giả sử điểm của bạn thực sự cao, bằng : nghĩa là câu trả lời đúng và câu trả lời sai. Bây giờ cơ hội của bạn giảm bớt ngẫu nhiên một trong những câu hỏi không chính xác và thay đổi nó - do đó cải thiện điểm số của bạn - chỉ khoảng . Khó tăng gấp đôi số điểm này so với giảm điểm. $65$ $30$ $16$ $1/3$
Ngược lại, sử dụng một phân tích tương tự, sẽ dễ dàng hơn để cải thiện điểm thấp bằng cách thay đổi ngẫu nhiên một trong những câu trả lời.

Nói chung hơn - và bạn có thể thấy đây là một mô hình hấp dẫn hơn mô hình dường như chỉ dựa vào may mắn - hãy xem xét bất kỳ bài kiểm tra nào trong đó điểm số của bạn dự kiến là trên tổng số kiến thức cơ bản của bạn. Để cải thiện điểm kiểm tra dự kiến của bạn từ đến - nghĩa là tăng điểm - bạn sẽ phải giữ lại hiệu suất của mình trên số câu trả lời bạn nhận được trong khi học đủ để thêm điểm trong số điểm bị mất trên các câu trả lời sai. Sự cải thiện tương đối về kiến thức của bạn có thể được thể hiện theo hai cách: $100p\%$ $100p$ $100(p+x)\%$ $100x$ $100p\%$ $100x$ $100(1-p)$

Bạn đã giảm tỷ lệ của câu trả lời sai thành , thay đổi ; và $1-p$ $1-p-x$ $-x/(1-p)$
Bạn đã tăng tỷ lệ của câu trả lời đúng cho , thay đổi . $p$ $p+x$ $+x/p$

Tỷ lệ này (lên đến ký), cụ thể là

\frac{x p}{x (1 - p)} = \frac{p}{1 - p}

$\frac{xp}{x(1-p)} = \frac{p}{1-p}$

là tỷ lệ cược của . Nói một cách cân bằng - bằng cách tính toán nhu cầu cả hai để nhận được ít câu trả lời sai hơn và câu trả lời đúng hơn - nó đo lường mức độ khó của việc tăng bắt đầu với số điểm . Khi tăng lên điểm, kích thước thu nhỏ của mẫu số cho thấy việc tăng dần khó khăn hơn nhiều để cải thiện điểm số đã cao. Một cách thô bạo, việc tăng từ lên đến đều khó khăn như nhau. (Đây là tỷ lệ cược xấp xỉ , và $p$ $100x$ $100p$ $100p$ $100$ $1-p$ $90\%$ $95\%$ $97\%$ $9$ $19$ $32$ , tương ứng.)

Cũng lưu ý rằng điểm số của bạn giảm nhiều do các lỗi nhỏ trong câu hỏi hơn là tăng khi điểm của bạn trên 50%, ngược lại là trường hợp điểm thấp hơn: đoán và sai ngẫu nhiên có lợi cho học sinh nghèo và làm tổn thương học sinh giỏi.

Theo như một chiến lược nghiên cứu, phân tích này cho thấy bạn nhận được nhiều lợi ích nhất từ việc nghiên cứu các phần bạn yếu nhất - cho rằng mỗi đơn vị nỗ lực nghiên cứu đều dẫn đến hiệu suất tăng tương đối trong mỗi phần.

— whuber
nguồn

Cảm ơn @whuber, điều đó rất thú vị. Tôi có thể hỏi tại sao bạn chọn 100 / 46≈2 thay vì 100/50 = 2, tức là kiểm tra 46 câu hỏi thay vì 50 không? Ý nghĩa của 46 là gì?

— K-Feldspar