Từ phân phối đồng đều đến phân phối theo cấp số nhân và ngược lại

20

Đây có lẽ là một câu hỏi tầm thường, nhưng cho đến nay, việc tìm kiếm của tôi vẫn không có kết quả, bao gồm cả bài viết trên wikipedia này và tài liệu "Compendium of Distribution" .

Nếu có phân phối đồng đều, điều đó có nghĩa là tuân theo phân phối theo cấp số nhân? $X$ $e^X$

Tương tự, nếu tuân theo phân phối theo cấp số nhân, điều đó có nghĩa là tuân theo phân phối đồng đều? $Y$ $ln(Y)$

— luchonacho
nguồn

3

Tại sao bạn mong đợi nó được như vậy? Vì cái tên? Kiểm tra en.wikipedia.org/wiki/ Kẻ để xem các phân phối khác có liên quan đến cấp số nhân như thế nào. Ngoài ra ...

\exp (X) \notin [0, \infty)

$\exp(X) \not\in [0, \infty)$

— Tim

Không, tôi nghĩ rằng tôi đang theo các phép tương tự với các phép biến đổi hàm tiêu chuẩn, quên rằng với các bản phân phối, mọi thứ sẽ khác.

— luchonacho

25

Nó không phải là trường hợp lũy thừa một biến ngẫu nhiên đồng nhất mang lại một hàm mũ, cũng không lấy nhật ký của biến ngẫu nhiên theo hàm mũ mang lại một đồng nhất.

Đặt đồng đều trên và đặt . $U$ $(0,1)$ $X=\exp(U)$

$F_X(x) = P(X \leq x) = P(\exp(U)\leq x) = P(U\leq \ln x) = \ln x\,,\quad 1<x<e$

Vậy . $f_x(x) = \frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x}\,,\quad 1<x<e$

Đây không phải là một biến thiên theo cấp số nhân. Một tính toán tương tự cho thấy nhật ký của số mũ không đồng nhất.

Đặt là số mũ tiêu chuẩn, do đó, . $Y$ $F_Y(y)=P(Y\leq y) = 1-e^{-y}\,,\quad y>0$

Hãy . Sau đó . $V=\ln Y$ $F_V(v) = P(V\leq v) = P(\ln Y\leq v) = P(Y\leq e^v) = 1-e^{-e^v}\,,\quad v<0$

Đây không phải là đồng phục. (Thật vậy, là biến ngẫu nhiên được phân phối theo Gumbel , vì vậy bạn có thể gọi phân phối của là 'Gumbel lật'.) $-V$ $V$

Tuy nhiên, trong mỗi trường hợp, chúng ta có thể thấy nó nhanh hơn bằng cách xem xét các giới hạn về các biến ngẫu nhiên. Nếu là đồng nhất (0,1) thì nó nằm trong khoảng từ 0 đến 1 nên nằm giữa và ... vì vậy nó không theo cấp số nhân. Tương tự, đối với hàm mũ , được bật , do đó không thể đồng nhất (0,1), cũng không thực sự là bất kỳ đồng phục nào khác. $U$ $X=\exp(U)$ $1$ $e$ $Y$ $\ln Y$ $(-\infty,\infty)$

Chúng tôi cũng có thể mô phỏng, và một lần nữa nhìn thấy nó ngay lập tức:

Đầu tiên, cấp số nhân cho một bộ đồng phục -

[đường cong màu xanh là mật độ (1 / x trên khoảng thời gian được chỉ định) mà chúng tôi đã thực hiện ở trên ...]

Thứ hai, nhật ký của số mũ:

Mà chúng ta có thể thấy là xa đồng phục! (Nếu chúng ta phân biệt cdf mà chúng ta đã làm trước đây, sẽ cho mật độ, nó phù hợp với hình dạng chúng ta thấy ở đây.)

Thật vậy, phương pháp cdf nghịch đảo chỉ ra rằng việc lấy âm của nhật ký của một biến thiên (0,1) mang lại một phương sai theo hàm mũ tiêu chuẩn, và ngược lại, lũy thừa âm của một hàm mũ tiêu chuẩn sẽ tạo ra đồng nhất. [Cũng xem biến đổi tích phân xác suất ]

Phương pháp này cho chúng ta biết rằng nếu , . Nếu chúng ta áp dụng nghịch đảo của cdf như một phép biến đổi trên , một đồng phục tiêu chuẩn, biến ngẫu nhiên kết quả có hàm phân phối . $U=F_Y(Y)$ $Y = F^{-1}(U)$ $U$ $F_Y$

Nếu ta để đồng đều (0,1) thì . Đặt . (Lưu ý rằng cũng đồng nhất trên (0,1) vì vậy bạn thực sự có thể để , nhưng chúng tôi đang theo phương pháp cdf nghịch đảo đầy đủ ở đây) $U$ $P(U\leq u) = u$ $Y=-\ln (1-U)$ $1-U$ $Y=-\ln U$

Khi đó , là cdf của số mũ tiêu chuẩn. $P(Y\leq y) = P(-\ln (1-U) \leq y) = P( 1-U \geq e^{-y}) = P( U \leq 1-e^{-y}) = 1-e^{-y}$

[Thuộc tính này của biến đổi cdf nghịch đảo là lý do tại sao biến đổi thực sự cần thiết để có được phân phối theo cấp số nhân và biến đổi tích phân xác suất là lý do tại sao lũy thừa âm của hàm mũ âm trở lại đồng phục.] $\log$

— Glen_b -Reinstate Monica
nguồn

Câu trả lời chính xác! Cảm ơn. Tôi thấy nó bây giờ. Tôi đã tính CDF trong cả hai trường hợp và tôi nhận được âm của nhật ký trong trường hợp trước và giá trị tuyệt đối của nghịch đảo, trong trường hợp sau. Tôi nghĩ rằng sự nhầm lẫn của tôi là về suy nghĩ về các biến đổi chức năng tiêu chuẩn, không tuân theo khi phân phối. +1 cho các biểu đồ!

— luchonacho

6

Bạn gần như có nó trở lại phía trước. Bạn đã hỏi:

"Nếu có phân phối đồng đều, điều đó có nghĩa là tuân theo phân phối theo cấp số nhân?" $X$ $e^X$
"Tương tự, nếu tuân theo phân phối theo cấp số nhân, điều đó có nghĩa là tuân theo phân phối đồng đều?" $Y$ $\ln(Y)$

Trong thực tế

nếu đồng nhất trên thì tuân theo phân bố hàm mũ với tham số $X$ $[0,1]$ $-\log_e(X)$ $1$
nếu tuân theo phân phối theo cấp số nhân với tham số thì có phân phối đồng đều trên . $Y$ $1$ $e^{-Y}$ $[0,1]$

Nói chung, bạn có thể nói:

nếu đồng nhất trên thì tuân theo phân phối hàm mũ với tham số tỷ lệ $X$ $[a,b]$ $-\frac1k \log_e\left(\frac{X-a}{b-a}\right)$ $k$
nếu tuân theo phân phối hàm mũ với tham số tỷ lệ thì có phân phối đồng đều trên trong khi có phân phối đồng đều trên $Y$ $k$ $e^{-kY}$ $[0,1]$ $a+(b-a)e^{-kY}$ $[a,b]$

— Henry
nguồn