Có bất kỳ mối quan hệ giữa sự tương tự cosin, tương quan pearson và điểm z?

Tôi tự hỏi nếu có bất kỳ mối quan hệ giữa 3 biện pháp này. Tôi dường như không thể tạo mối liên hệ giữa chúng bằng cách tham khảo các định nghĩa (có thể vì tôi chưa quen với các định nghĩa này và đang có một chút thời gian khó khăn để nắm bắt chúng).

Tôi biết phạm vi tương tự cosine có thể từ 0 - 1 và tương quan quả lê có thể dao động từ -1 đến 1, và tôi không chắc về phạm vi của điểm z.

Tuy nhiên, tôi không biết làm thế nào một giá trị nhất định của độ tương tự cosin có thể cho bạn biết bất cứ điều gì về tương quan quả lê hoặc điểm z và ngược lại?

Các tương đồng cosin giữa hai vectơ $a$ và $b$ chỉ là góc giữa chúng

$$\cos\theta = \frac{a\cdot b}{\lVert{a}\rVert \, \lVert{b}\rVert}$$ Trong nhiều ứng dụng mà sử dụng cosin tương đồng, các vectơ là không âm (ví dụ như một vector tần số hạn cho một tài liệu), và trong trường hợp này sự tương đồng cosin cũng sẽ không âm.

Đối với một vectơ vectơ " z -score" thường được định nghĩa là z = x - ˉ $x$$z$ trong đó ˉ x =

$$z=\frac{x-\bar{x}}{s_x}$$ vàs 2 x = ¯ ( x - ˉ x ) 2 là giá trị trung bình và độ lệch chuẩn củax. Vậyzcó nghĩa là 0 và độ lệch chuẩn 1, tức làzxlàphiên bảnchuẩncủax.$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_ix_i$$s_x^2=\overline{(x-\bar{x})^2}$$x$$z$$z_x$$x$

Đối với hai vectơ và y , hệ số tương quan của chúng sẽ là ρ x , y = ¯ ( z x z y$x$$y$

$$\rho_{x,y}=\overline{(z_xz_y)}$$

Bây giờ nếu vectơ có giá trị trung bình bằng 0 thì phương sai của nó sẽ là s 2 a = $a$, vì vậy vector đơn vị của nó và z-score sẽ được liên quan bởi một =$s_a^2=\frac{1}{n}\lVert{a}\rVert^2$

$$\hat{a}=\frac{a}{\lVert{a}\rVert}=\frac{z_a}{\sqrt n}$$

$a$$b$

$\sqrt n$