Tại sao , nhưng ?

Tại trang trung tâm AP này Biến ngẫu nhiên so với biến đại số , tác giả, Peter Flanagan-Hyde rút ra sự phân biệt giữa các biến đại số và biến ngẫu nhiên.

Một phần anh nói

$x + x = 2x$ , nhưng $X + X \neq 2X$

- thực tế nó là phụ đề của bài viết.

Sự khác biệt cơ bản giữa một biến đại số và biến ngẫu nhiên là gì?

Vì vậy, hãy giải quyết câu hỏi này trước: '' Sự khác biệt cơ bản giữa biến đại số và biến ngẫu nhiên là gì? ''

Một biến ngẫu nhiên không phải là một biến đại số. Chính thức, nó được định nghĩa là một chức năng từ một không gian xác suất để .$X$$\Omega$$\mathbb R$

OK ... Điều đó thực sự có nghĩa là bạn thực hiện các thí nghiệm ngẫu nhiên (ví dụ ném xúc xắc, chọn một người ngẫu nhiên) và bạn thực hiện các biện pháp trên các thí nghiệm này (ví dụ: số trên mặt súc sắc, chiều cao, giới tính, mức cholesterol của con người ). Tập hợp là tập hợp của tất cả các thử nghiệm có thể. Trên một thí nghiệm đặc biệt , bạn thực hiện một biện pháp : đó là lý do chính thức nó là một chức năng từ để .$\Omega$$\omega\in\Omega$$X(\omega)$$\Omega$$\mathbb R$

Bây giờ nói chung, chúng tôi hoàn toàn quên đi . Các biến ngẫu nhiên được xác định theo thuật ngữ xác suất của chúng. Trong trường hợp súc sắc công bằng, bạn chỉ cần nói$\Omega$

• $\mathbb P(X = k) = {1\over 6}$ cho (xác suất của bằng là 1/6 cho từ 1 đến 6),$k=1,\dots,6$$X$$k$$k$

thay vì

• $\mathbb P\left( \bigl\{ \omega \in \Omega \ : \ X(\omega) = k\bigr\}\right)$ (bộ xúc xắc ném vào đó phép đo - mặt trên - là có xác suất 1/6) ...$X$$k$

Nó đơn giản hơn. Bạn thậm chí hoàn toàn có thể tránh làm phiền các sinh viên với .$\Omega$

Tôi hy vọng điều này làm sáng tỏ một số loại ánh sáng.

Bây giờ những gì anh chàng này có nghĩa là bởi không phải là tổng của một biện pháp như vậy với chính nó không phải là hai lần biện pháp này - thật không may, nó là những gì ông viết. Điều ông muốn nói là tổng của hai biện pháp như vậy, được thực hiện trên các thí nghiệm khác nhau, không có cùng một định luật hơn hai lần một biện pháp. Điều này có thể được viết là (thực tế là và có cùng phân phối không có nghĩa là có cùng phân phối là ).$X + X \ne 2X$$X_1 \sim X_2 \not\Rightarrow X_1 + X_2 \sim 2X_1$$X_1$$X_2$$X_1 + X_2$$2 X_1$

[Một phiên bản trước của câu hỏi yêu cầu một câu trả lời hoàn toàn tránh toán học; câu trả lời này là một nỗ lực để đưa ra một số động lực trực quan, ở mức tương tự như tài liệu được hỏi về.]

Trang được liên kết sai khi nói rằng .$X+X\neq 2X$

Trong ví dụ là một biến ngẫu nhiên đại diện cho số hiển thị trên mặt của một con súc sắc - kết quả của một thí nghiệm như "lăn một con súc sắc sáu mặt một lần và ghi lại con số trên mặt của con súc sắc".$X$

Vì vậy, bạn lăn một cái chết và viết ra những gì bạn nhìn thấy. Bất cứ số nào bạn sẽ ghi là ... vì vậy đại diện cho kết quả được thêm vào chính nó. Nếu bạn lăn một con súc sắc khác, con số đó bạn sẽ ghi lại trước khi không thay đổi.$X$$X+X$

Sau đó trên trang có ghi:

Khi hai con xúc xắc được lăn, mặc dù, kết quả là khác nhau. Gọi biến ngẫu nhiên đại diện cho kết quả của quá trình hai con xúc xắc (cho "hai"). Chúng tôi có thể viết . Phương trình này thể hiện thực tế rằng là kết quả của hai trường hợp độc lập của biến ngẫu nhiên$T$$T = X + X$$T$$T$

Phần cuối của trích dẫn đó có lẽ là một lỗi đánh máy, họ có nghĩa là không có ở đó (vì nếu đó là họ chỉ nói là kết quả của hai trường hợp của chính nó). Nhưng với sự thay thế đó, nó vẫn không chính xác.$X$$T$$T$$T$

Nếu bạn có hai trường hợp thử nghiệm độc lập (cuộn một lần, hãy ghi lại số hiển thị) bạn đang xử lý hai biến ngẫu nhiên khác nhau .

Vì vậy, hãy tưởng tượng tôi có một cái chết màu đỏ và một cái chết màu xanh. Sau đó, tôi có thể nói "Đặt kết quả trên cái chết màu đỏ là và kết quả trên cái chết màu xanh là ". Sau đó, chúng ta có thể theo dõi ví dụ tại trang được liên kết đó bằng cách xác định là tổng của các số hiển thị trên hai con xúc xắc đó, vì vậy . Nếu xúc xắc và quy trình cán súc sắc là công bằng thì phân phối và là như nhau, nhưng và - các biến ngẫu nhiên - là khác biệt.$X_1$$X_2$$T$$T=X_1+X_2$$X_1$$X_2$$X_1$$X_2$

[Có một cuộc thảo luận tuyệt vời bằng cách đưa ra các biến ngẫu nhiên (và tổng của chúng) ở đây , và khái niệm về các biến ngẫu nhiên được đề cập chi tiết hơn một chút (nếu ở những nơi kỹ thuật hơn) ở đây . Tôi khuyên bạn ít nhất nên đọc câu trả lời ở liên kết đầu tiên.]

Vấn đề này đã xảy ra bởi vì tác giả đã nhầm lẫn biến ngẫu nhiên với phân phối của nó. Bạn có thể nhìn thấy cái đó ở kia:

Trong trường hợp này, sinh viên nghĩ về biến ngẫu nhiên X là đại diện cho một giá trị duy nhất, chưa biết, giống như cách họ nghĩ về các biến đại số. Nhưng X thực sự đề cập đến việc phân phối các giá trị có thể và xác suất liên quan.

Ông kết hợp rõ ràng các biến ngẫu nhiên với phân phối của nó.

Trong thực tế, các biến ngẫu nhiên theo nhiều cách giống như các biến đại số khác và thường có thể được thao tác theo cách tương tự. Cụ thể, một biến ngẫu nhiên đơn biến không đại diện cho hai đại lượng riêng biệt (như kết quả từ hai cuộn chết khác nhau) cùng một lúc. thực sự là .$X+X$$2X$

Các trang bạn liên kết đến là sai. Anh ta viết mặc dù anh ta nói rằng anh ta đang gieo hai con xúc xắc độc lập riêng biệt. Điều này có nghĩa là anh ta nên viết trong đó và là kết quả của hai con xúc xắc.$T = X + X$$T = X + Y$$X$$Y$

Gọi cả hai là sai, vì biến ngẫu nhiên phải là nhận thức của việc quan sát ném xúc xắc, không phải hai hoặc nhiều hơn.$X$$X$$one$

Đối với một biến ngẫu nhiên, thực sự đúng là$X+X=2X$