Hai lượng tử của phân phối beta có xác định tham số của nó không?

Nếu tôi đưa ra hai lượng tử và các vị trí tương ứng của chúng (mỗi) trong khoảng thời gian mở , tôi có thể luôn tìm thấy các tham số của phân phối beta có các lượng tử đó tại các vị trí đã chỉ định không?$(q_1,q_2)$$(l_1,l_2)$$(0,1)$

Câu trả lời là có, miễn là dữ liệu thỏa mãn các yêu cầu về tính nhất quán rõ ràng. Đối số là đơn giản, dựa trên một cấu trúc đơn giản, nhưng nó đòi hỏi một số thiết lập. Nó đi xuống đến một thực tế bằng trực giác hấp dẫn: tăng tham số $a$ trong một Beta $(a,b)$ phân phối tăng giá trị của mật độ của nó (PDF) hơn cho lớn hơn $x$ hơn nhỏ hơn $x$ ; và tăng $b$ thì ngược lại: $x$ càng nhỏ , giá trị của PDF càng tăng.

Các chi tiết theo sau.

Đặt lượng tử $q_1$ mong muốn là $x_1$ và lượng tử $q_2$ mong muốn là $x_2$ với $1 \gt q_2 \gt q_1 \gt 0$ và (do đó) $1 \gt x_2 \gt x_1 \gt 0$ . Sau đó, có duy nhất $a$ và $b$ mà phân phối Beta $(a,b)$ có các lượng tử này.

Khó khăn trong việc chứng minh điều này là phân phối Beta liên quan đến hằng số chuẩn hóa tính toán lại. Nhắc lại định nghĩa: với $a\gt 0$ và $b \gt 0$ , phân phối Beta $(a,b)$ có hàm mật độ (PDF)

Hằng số chuẩn hóa là hàm Beta

Mọi thứ trở nên lộn xộn nếu chúng ta cố gắng phân biệt trực tiếp $f(x;a,b)$ đối với $a$ và $b$ , đó sẽ là cách vũ phu để thực hiện một cuộc biểu tình.

Một cách để tránh phải phân tích chức năng Beta là lưu ý rằng lượng tử là các khu vực tương đối . Đó là,

cho $i=1,2$ . Ở đây, ví dụ, là PDF và hàm phân phối tích lũy (CDF) $F$ của một Beta $(1.15, 0.57)$ phân phối mà $x_1=1/3$ và $q_1=1/6$ .

Hàm mật độ $x\to f(x;a,b)$ được vẽ ở bên trái. $q_1$ là khu vực dưới đường cong bên trái của $x_1$ , được hiển thị màu đỏ, so với tổng diện tích dưới đường cong. $q_2$ là diện tích bên trái của $x_2$ , bằng tổng của các vùng màu đỏ và màu xanh, một lần nữa so với tổng diện tích . CDF ở bên phải cho thấy cách $(x_1,q_1)$ và $(x_2,q_2)$ đánh dấu hai điểm khác biệt trên đó.

Trong con số này, $(x_1,q_1)$ đã được cố định ở $(1/3,1/6)$ , $a$ đã được chọn là $1.15$ , và sau đó một giá trị của $b$ đã được tìm thấy mà $(x_1,q_1)$ sự dối trá trên CDF Beta $(a,b)$ .

Bổ đề : Một $b$ luôn luôn có thể được tìm thấy.

Để cụ thể, hãy để $(x_1, q_1)$ được cố định một lần và mãi mãi. (Chúng giữ nguyên trong các hình minh họa theo sau: trong cả ba trường hợp, diện tích tương đối ở bên trái của $x_1$ bằng $q_1$ ) Với mọi $a\gt 0$ , Bổ đề Lemma có giá trị duy nhất là $b$ , được viết $b(a),$ viết b ( a ) , trong đó $x_1$ là lượng tử $q_1$ của Beta $(a,b(a))$ phân phối.

Để biết lý do tại sao, trước tiên hãy lưu ý rằng khi $b$ tiến đến 0, tất cả các xác suất chồng chất gần các giá trị $0$ , khi $F(x_1;a,b)$ tiếp cận $1$ . Khi $b$ tiến đến vô cùng, tất cả các xác suất chồng chất gần các giá trị $1$ , khi $F(x_1;a,b)$ tiến đến $0$ . Ở giữa, hàm $b\to F(x_1;a,b)$đang tăng nghiêm ngặt trong $b$ .

Khiếu nại này là rõ ràng về mặt hình học: có nghĩa là nếu chúng ta nhìn vào khu vực bên trái dưới đường cong $x\to x^{a-1}(1-x)^{b-1}$ so với tổng diện tích dưới đường cong và so sánh với diện tích tương đối dưới đường cong $x\to x^{a-1}(1-x)^{b^\prime-1}$ cho $b^\prime \gt b$ , sau đó khu vực thứ hai là tương đối lớn. Tỷ lệ của hai chức năng này là$(1-x)^{b^\prime-b}$ . Đây là một chức năng tương đương với$1$ khi$x=0,$ giảm dần đến$0$ khi$x=1.$ Do đó chiều cao của hàm$x\to f(x;a,b^\prime)$ làtương đối lớn hơnso với chiều cao của$x\to f(x;a,b)$ cho$x$ ở bên trái của$x_1$ hơn so với$x$ bên phải của$x_1.$ Do đó,khu vựcbên trái của$x_1$ trước đây phảitương đốilớn hơn khu vực bên phải của$x_1.$ (Ví dụ, điều này rất đơn giản để chuyển thành một đối số nghiêm ngặt bằng cách sử dụng tổng Riemann.)

Chúng ta đã thấy rằng chức năng $b\to f(x_1;a,b)$ Nghiêm đơn điệu tăng với giá trị giới hạn tại $0$ và $1$ là $b\to 0$ và $b\to\infty,$ tương ứng. Nó cũng (rõ ràng) liên tục. Do đó, tồn tại một số $b(a)$ trong đó $f(x_1;a,b(a))=q_1$ và con số đó là duy nhất, chứng minh bổ đề.

Lập luận tương tự cho thấy khi $b$ tăng, diện tích bên trái của $x_2$ tăng. Do đó các giá trị của $f(x_2;a, b(a))$ nhiều hơn một số khoảng thời gian số như $a$ tiến bộ từ gần $0$ đến gần $\infty.$ Giới hạn của $f(x_2;a,b(a))$ là $a\to 0$ là $q_1.$

Dưới đây là một ví dụ trong đó $a$ gần bằng $0$ (bằng $0.1$ ). Với $x_1=1/3$ và $q_1=1/6$ (như trong hình trước), $b(a) \approx 0.02.$ Hầu như không có khu vực nào giữa $x_1$ và $x_2:$

CDF thực tế là phẳng giữa $x_1$ và $x_2,$ đó $q_2$ thực tế nằm trên đỉnh của $q_1.$ Trong giới hạn là $a\to 0$ , $q_2 \to q_1.$

Ở một thái cực khác, các giá trị đủ lớn của $a$ đạo trình tới $F(x_2;a,b(a))$ tùy ý gần với $1.$ Đây là một ví dụ với $(x_1,q_1)$ như trước đây.

Ở đây $a=8$ và $b(a)$ gần $10.$ Bây giờ $F(x_2;a,b(a))$ về cơ bản là $1:$ gần như không có khu vực nào ở bên phải của $x_2.$

Do đó, bạn có thể chọn bất kỳ $q_2$ giữa $q_1$ và $1$ và điều chỉnh $a$ cho đến khi $F(x_2;a,a(b))=q_2.$ Cũng như trước đây, này $a$ phải là duy nhất, QED .

RMã làm việc để tìm giải pháp được đăng tại Xác định tham số phân phối beta và β từ hai điểm tùy ý (lượng tử)$\alpha$$\beta$ .