Biến đổi mật độ xác suất khác nhau do yếu tố Jacobian

Trong Nhận dạng mẫu và Học máy của Giám mục, tôi đã đọc phần sau, ngay sau khi mật độ xác suất được giới thiệu:$p(x\in(a,b))=\int_a^bp(x)\textrm{d}x$

Dưới sự thay đổi phi tuyến của biến, mật độ xác suất biến đổi khác với hàm đơn giản, do yếu tố Jacobian. Chẳng hạn, nếu chúng ta xem xét sự thay đổi của các biến , thì hàm sẽ trở thành . Bây giờ hãy xem xét mật độ xác suất tương ứng với mật độ đối với biến mới , trong đó biểu thị thực tế rằng và là mật độ khác nhau. Các quan sát thuộc phạm vi , đối với các giá trị nhỏ của , sẽ được chuyển thành phạm vi$x = g(y)$$f(x)$$\tilde{f}(y) = f(g(y))$$p_x(x)$$p_y(y)$$y$$p_x(x)$$p_y(y)$$(x, x + \delta x)$$\delta x$$(y, y + \delta y$ ) trong đó $p_x(x)\delta x \simeq p_y(y)δy$ , và do đó $p_y(y) = p_x(x) |\frac{dx}{dy}| = p_x(g(y)) | g\prime (y) |$.

Yếu tố Jacobian là gì và chính xác mọi thứ có nghĩa là gì (có thể định tính)? Giám mục nói, một hậu quả của tính chất này là khái niệm về mức tối đa của mật độ xác suất phụ thuộc vào sự lựa chọn của biến. Điều đó có nghĩa là gì?

Đối với tôi điều này xuất hiện một chút ngoài màu xanh (xem xét nó trong chương giới thiệu). Tôi đánh giá cao một số gợi ý, cảm ơn!

Tôi đề nghị bạn đọc giải pháp của Câu hỏi 1.4 cung cấp một trực giác tốt.

Tóm lại, nếu bạn có hàm tùy ý và hai biến và có liên quan với nhau bằng hàm , thì bạn có thể tìm thấy tối đa của hàm bằng cách phân tích trực tiếp : hoặc hàm biến đổi : . Không ngạc nhiên, và sẽ liên quan đến từng cái như (ở đây tôi giả sử rằng .$f(x)$$x$$y$$x = g(y)$$f(x)$$\hat{x} = argmax_x(f(x))$$f(g(y))$$\hat{y} = argmax_y(f(g(y))$$\hat{x}$$\hat{y}$$\hat{x} = g(\hat{y})$$\forall{y}: g^\prime(y)\neq0)$

Đây không phải là trường hợp phân phối xác suất. Nếu bạn có phân phối xác suất và hai biến ngẫu nhiên có liên quan với nhau theo . Sau đó, không có mối quan hệ trực tiếp giữa và . Điều này xảy ra do yếu tố Jacobian, một yếu tố cho thấy mức độ thay đổi tương đối của một hàm như .$p_x(x)$$x=g(y)$$\hat{x} = argmax_x(p_x(x))$$\hat{y}=argmax_y(p_y(y))$$g(.)$