AR (1) có phải là quá trình Markov không?

13

Là quá trình AR (1) như yt=ρyt−1+εt là một quá trình Markov?

Nếu có thì VAR (1) là phiên bản vectơ của quá trình Markov?

time-series 
— Lợn bay
nguồn

Câu trả lời:

18

Kết quả sau giữ: Nếu ϵ1,ϵ2,… là độc lập giá trị lấy tại E và f1,f2,… là các hàm fn:F×E→F sau đó với Xn được định nghĩa đệ quy như

Xn=fn(Xn−1,ϵn),X0=x0∈F

quá trình (Xn)n≥0 trong F là một quá trình Markov khởi điểmx0 . Quá trình này là thời gian đồng nhất nếuϵ 's được phân phối hệt và tất cả cácf -functions giống hệt nhau.

AR (1) và VAR (1) là cả hai quá trình được đưa ra trong biểu mẫu này với

fn(x,ϵ)=ρx+ϵ.

Như vậy họ là những quá trình Markov đồng nhất nếu ϵ 's là iid

Về mặt kỹ thuật, các không gian và F cần một cấu trúc có thể đo được và các hàm f phải có thể đo được. Một điều khá thú vị là một kết quả ngược lại giữ nếu không gian F là không gian Borel . Đối với bất kỳ quá trình Markov ( X n ) n ≥ 0 trên một không gian Borel F có iid thống nhất các biến ngẫu nhiên ε 1 , εEFfF(Xn)n≥0F trong [ 0 , 1ϵ1,ϵ2,… và các hàm f n : F ×[0,1] sao cho với xác suất một X n = f n ( X n - 1 , ϵ n ) . Xem Dự luật 8.6 trong Kallenberg,Cơ sở của Xác suất Hiện đại.fn:F×[0,1]→F

Xn=fn(Xn−1,ϵn).
— NRH
nguồn
6

Một quá trình là một quá trình AR (1) nếuXt

Xt=c+φXt−1+εt

lỗi ở đâu, đang IID. Một quy trình có thuộc tính Markov nếuεt

P(Xt=xt|entire history of the process)=P(Xt=xt|Xt−1=xt−1)

Từ phương trình đầu tiên, phân phối xác suất của rõ ràng chỉ phụ thuộc vào X t - 1XtXt−1 , vì vậy, vâng, quy trình AR (1) là một quy trình Markov.

— Vĩ mô
nguồn
3
-1, lý do tương tự như cho một poster khác. Câu trả lời ngụ ý rằng thật dễ dàng để kiểm tra tài sản Markov được trích dẫn. Nó không phải, trừ khi được chứng minh khác. Cũng lưu ý rằng AR (1) quá trình có thể được định nghĩa với là phi iid, vì thế này nên được adressed cũng có. εt
— mpiktas
1
Vấn đề chính là chúng ta có thể dễ dàng viết và sau đó là câu cuối cùng sẽ ngụ ý rằng P ( X t = x t |Xt=c+ϕc+ϕ2Xt−2+ϕεt−1+εtP(Xt=xt|entire history)=P(Xt=xt|Xt−2=xt−2).
— mpiktas
Chà, các quy trình markov không phụ thuộc vào khi bạn không có điều kiện trên X t - 1 . Tôi cho rằng một đối số chính thức hơn sẽ cho rằng bạn điều hòa tuần tự (nghĩa là bạn không bao gồm X t - 2 trừ khi bạn đã điều hòa trên X t - 1 ). Xt−2Xt−1Xt−2Xt−1
— Macro
và những gì bạn đã viết ở đó thực sự phụ thuộc vào cả và X t - 1 (thông qua thuật ngữ lỗi ε t - 1 ). Điểm mấu chốt là khả năng chung có thể được viết dễ dàng như một sản phẩm của khả năng có điều kiện chỉ yêu cầu điều hòa vào thời điểm trước đó. Thông qua các dự phòng tham số, bạn có thể làm cho nó trông giống như phân phối của X t phụ thuộc vào X t - 2 , nhưng, một khi bạn đã điều hòa trên X t -Xt−2Xt−1εt−1XtXt−2Xt−1, nó rõ ràng không. (ps Tôi đã sử dụng định nghĩa chuẩn của quy trình AR (1) cho mỗi cuốn sách theo chuỗi thời gian của Shumway và Stoeffer)
— Macro
Lưu ý tôi không nói rằng câu trả lời là không chính xác. Tôi chỉ đánh lừa các chi tiết, tức là sự bình đẳng thứ hai là hiển nhiên bằng trực giác, nhưng nếu bạn muốn chứng minh nó một cách chính thức thì không dễ dàng gì, IMHO.
— mpiktas
2

Một quá trình Markov là gì? (lỏng lẻo) Một quy trình ngẫu nhiên là một quy trình Markov đặt hàng đầu tiên nếu điều kiện

P[X(t)=x(t)|X(0)=x(0),...,X(t−1)=x(t−1)]=P[X(t)=x(t)|X(t−1)=x(t−1)]

giữ Vì giá trị tiếp theo (tức là phân phối giá trị tiếp theo) của quy trình chỉ phụ thuộc vào giá trị quy trình hiện tại và không phụ thuộc vào lịch sử còn lại, đó là quy trình Markov. Khi chúng tôi quan sát trạng thái của quá trình tự phát, lịch sử (hoặc quan sát) trong quá khứ không cung cấp bất kỳ thông tin bổ sung nào. Vì vậy, điều này ngụ ý rằng phân phối xác suất của giá trị tiếp theo không bị ảnh hưởng (độc lập với) bởi thông tin của chúng tôi về quá khứ.AR(1)

Điều tương tự cũng xảy ra đối với VAR (1) là quy trình Markov đa biến bậc nhất.

— Tomas
nguồn
εt
Tôi nghĩ rằng Markov Process đề cập đến trường hợp liên tục. Chuỗi thời gian AR thông thường là rời rạc, do đó, nó phải tương ứng với Chuỗi Markov thay vì Quy trình Markov.
— khớp_p
Vì vậy, chúng tôi quan sát trạng thái của quá trình tự phát, Xt. Lịch sử đã qua làXt-1,Xt-2,.... Điều này không cung cấp bất kỳ thông tin bổ sung?
— mpiktas
@joint_p, thuật ngữ không hoàn toàn nhất quán trong tài liệu. Trong lịch sử, như tôi thấy, việc sử dụng "chuỗi" thay vì "quy trình" thường là một tham chiếu đến không gian trạng thái của quá trình là rời rạc nhưng đôi khi cũng có thời gian rời rạc. Ngày nay, nhiều người sử dụng "chuỗi" để chỉ thời gian riêng biệt nhưng cho phép một không gian trạng thái chung, như trong Markov Chain Monte Carlo. Tuy nhiên, sử dụng "quy trình" cũng đúng.
— NRH
1
-1, vì bằng chứng về tài sản Markovian không được đưa ra. Ngoài ra, đối số vẫy tay không phù hợp với công thức được đưa ra. trạng thái hiện tại =t, phương tiện quá khứ t−1,t−2,..., next means t+1, but the formula does not involve t+1.
— mpiktas
Khi sử dụng trang web của chúng tôi, bạn xác nhận rằng bạn đã đọc và hiểu Chính sách cookie và Chính sách bảo mật của chúng tôi.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.