Phân phối phương tiện mẫu của phân phối Cauchy là gì?

13

Thông thường, khi người ta lấy trung bình mẫu ngẫu nhiên của một phân phối (với cỡ mẫu lớn hơn 30), người ta sẽ có được một trung tâm phân phối bình thường xung quanh giá trị trung bình. Tuy nhiên, tôi nghe nói rằng phân phối Cauchy không có giá trị trung bình. Phân phối nào người ta có được sau đó khi lấy phương tiện mẫu của phân phối Cauchy?

Về cơ bản đối với phân phối Cauchy không được xác định, vậy là gì và phân phối của gì? $\mu_x$ $\mu_{\bar{x}}$ $\bar{x}$

cauchy

— Steven Stewart-Gallus
nguồn

1

Từ trang Wikipedia , có vẻ như giá trị trung bình mẫu của các biến iid Cauchy sẽ có cùng phân phối với chính các mẫu.

— GeoMatt22

18

Nếu $X_1, \ldots, X_n$ được IID Cauchy $(0, 1)$ sau đó chúng ta có thể thấy rằng $\bar{X}$ cũng là Cauchy $(0, 1)$ sử dụng một đối số chức năng đặc trưng:

\begin{aligned} φ_{\bar{X}} (t) & = = E (e^{Tôi t \bar{X}}) \\ = = E (Π_{j = = 1}^{n} e^{Tôi t X_{j} / n}) \\ = = Π_{j = = 1}^{n} E (e^{Tôi t X_{j} / n}) \\ = = E {(e^{Tôi t X_{1} / n})}^{n} \\ = = e^{- | t |} \end{aligned}

$\begin{align} \varphi_{\bar{X}}(t) &= \text{E} \left (e^{it \bar{X}} \right ) \\ &= \text{E} \left ( \prod_{j=1}^{n} e^{it X_j / n} \right ) \\ &= \prod_{j=1}^{n} \text{E} \left ( e^{it X_j / n} \right ) \\ &= \text{E} \left (e^{it X_1 / n} \right )^n \\ &= e^{- |t|} \end{align}$

đó là chức năng đặc trưng của phân phối Cauchy tiêu chuẩn. Các bằng chứng cho khái quát hơn Cauchy $(\mu, \sigma)$ trường hợp về cơ bản là giống hệt nhau.

— DS
nguồn

7

Để giúp những người gặp khó khăn trong việc kết nối một số chi tiết, bước từ dòng thứ hai đến dòng thứ ba sử dụng tính độc lập, phần tiếp theo sử dụng "phân phối giống hệt", cách tiếp theo có thể được thực hiện theo nhiều cách, nhưng cách dễ nhất là xem rằng sự kỳ vọng bên trong sức mạnh là không thể thiếu giống như đối với cf Cauchy nhưng trong

, vì vậy (nếu bạn đã biết cf cho một Cauchy), bạn sẽ nhận được

và sau đó giảm sức mạnh thứ

xuống các điều khoản

hủy.

t / n

$t/n$

[e^{- | t / n |}]^{n}

$[e^{-|t/n|}]^n$

n

$n$

n

$n$

— Glen_b -Reinstate Monica

Tôi thích rằng câu trả lời khác cũng giải thích rằng điều này có nghĩa là nó là một bản phân phối ổn định .

— Apollys hỗ trợ Monica

5

Thông thường, khi người ta lấy trung bình mẫu ngẫu nhiên của một phân phối (với cỡ mẫu lớn hơn 30), người ta sẽ có được một trung tâm phân phối bình thường xung quanh giá trị trung bình.

$X_n$ $μ$ $\sqrt{n}[(X_1 + X_2 + \cdots + X_n)/n - μ]$ $n$

Tuy nhiên, tôi nghe nói rằng phân phối Cauchy không có giá trị trung bình. Phân phối nào người ta có được sau đó khi lấy phương tiện mẫu của phân phối Cauchy?

Giống như GeoMatt22 đã nói, các phương tiện mẫu sẽ được chính họ phân phối. Nói cách khác, phân phối Cauchy là một phân phối ổn định .

Lưu ý rằng định lý giới hạn trung tâm không áp dụng cho các biến ngẫu nhiên phân tán Cauchy vì chúng không có giá trị trung bình và phương sai hữu hạn.

— Nhà quang học học
nguồn

1 / \sqrt{N}

$1/\sqrt{N}$

1

μ

$\mu$

@DilipSarwate đã sửa. Đừng quên rằng bạn có thể chỉnh sửa câu trả lời của người khác.

— Kodiologist