Trực giác đằng sau một chức năng chỉ báo là gì?

8

Hàm chỉ thị là gì?
Trực giác đằng sau một chức năng Indicator là gì?
Tại sao hàm chỉ thị cần thiết trong ví dụ sau? $I_A$
Ví dụ sau có thể được viết lại mà không sử dụng chức năng chỉ báo không?

Hãy để là bất kỳ sự kiện. Chúng ta có thể viết như một kỳ vọng, như sau: $A$ $\Bbb P(A)$

Xác định hàm chỉ thị:

$I_{A} = {\begin{cases} 1, & if event A occurs \\ 0, & otherwise \end{cases}$ $I_A = \begin{cases} 1, & \text{if event $A$ occurs} \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$
Thì là một biến ngẫu nhiên và $I_A$

$E (I_{A}) = \sum_{r = 0}^{1} r \cdot P (I_{A} = r) = P (A) .$ $\Bbb E(I_A) = \sum_{r=0}^1 r \cdot \Bbb P(I_A = r) \\ = \Bbb P(A).$
Như vậy

$P (A) = E (I_{A}) .$ $\Bbb P(A) = \Bbb E(I_A).$

probability random-variable indicator-function

— người dùng366312
nguồn

1

Dưới đây là một bài viết của Knuth về khái niệm liên quan của khung Iverson. Nói một cách đơn giản: các hàm chỉ thị là các "công tắc" hữu ích, tương tự như cách một if()câu lệnh hữu ích trong lập trình.

— JM không phải là một nhà thống kê

8

Tôi không nghĩ rằng bạn có thể trực quan hơn về nó sau đó nói lại một lần nữa những gì nó làm: nó trả về cho thứ gì đó khiến bạn quan tâm và cho tất cả các trường hợp khác. $1$ $0$

Vì vậy, nếu bạn muốn đếm những người mắt xanh, bạn có thể sử dụng chức năng chỉ báo trả về những người cho mỗi người mắt xanh và bằng không, và tổng hợp kết quả của chức năng.

Về xác suất được xác định theo kỳ vọng và chức năng chỉ báo: nếu bạn chia tổng số (hoặc tổng của số đó) cho tổng số trường hợp, bạn sẽ có xác suất. Peter Whittle trong các cuốn sách Xác suất và Xác suất của mình thông qua Kỳ vọng viết rất nhiều về việc xác định xác suất như thế này và thậm chí coi việc sử dụng giá trị và chức năng chỉ báo như vậy là một trong những khía cạnh cơ bản nhất của lý thuyết xác suất.

Về câu hỏi của bạn trong bình luận

Không phải biến ngẫu nhiên ở đó để phục vụ cho cùng một mục đích? Giống như và ? $H=1$ $T=0$

Vâng, đúng vậy! Trong thực tế, trong thống kê, chúng tôi sử dụng hàm chỉ báo để tạo các biến ngẫu nhiên mới, ví dụ: hãy tưởng tượng rằng bạn đã phân phối biến ngẫu nhiên thông thường , sau đó bạn có thể tạo biến ngẫu nhiên mới bằng hàm chỉ báo, giả sử $X$

I_{2 < X < 3} = {\begin{cases} 1 & if 2 < X < 3 \\ 0 & otherwise \end{cases}

$I_{2<X<3} = \begin{cases} 1 & \text{if} \quad 2 < X < 3 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$

hoặc bạn có thể tạo biến ngẫu nhiên mới bằng hai biến ngẫu nhiên phân phối Bernoulli : $A,B$

I_{A \neq B} = {\begin{cases} 0 & if & A = B, \\ 1 & if & A \neq B \end{cases}

$I_{A\ne B} = \begin{cases} 0 & \text{if } & A=B, \\ 1 & \text{if } & A \ne B \end{cases}$

... Tất nhiên, bạn cũng có thể sử dụng bất kỳ chức năng nào khác để tạo biến ngẫu nhiên mới. Chức năng chỉ báo rất hữu ích nếu bạn muốn tập trung vào một số sự kiện cụ thể và báo hiệu khi nó xảy ra.

Đối với chức năng chỉ báo vật lý, hãy tưởng tượng rằng bạn đã đánh dấu một trong những bức tường của xúc xắc sáu mặt bằng sơn đỏ, vì vậy bây giờ bạn có thể đếm kết quả màu đỏ và không đỏ. Nó không ít ngẫu nhiên là chính con xúc xắc, trong khi đó là một biến ngẫu nhiên mới xác định kết quả khác nhau.

Bạn cũng có thể quan tâm đến việc đọc về Dirac delta được sử dụng trong xác suất và thống kê giống như một đối tác liên tục với chức năng chỉ báo.

Xem thêm: Tại sao 0 cho thất bại và 1 cho thành công trong phân phối Bernoulli?

— Tim
nguồn

1

Tôi nghĩ một lưu ý quan trọng là (xanh + xanh + không-xanh) / 3 hoàn toàn vô nghĩa, nhưng (1 + 1 + 0) / 3 = 2/3.

— Vách đá AB

@CliffAB, không phải là Biến ngẫu nhiên ở đó để phục vụ cùng một mục đích? Giống như và ?

H = 1

$H=1$

T = 0

$T=0$

— user366312

2

@anonymous: không có gì nói rằng một biến ngẫu nhiên cần có một giá trị số hoặc "thành công" đó bằng 1. Toàn bộ điểm của hàm chỉ thị là chính thức hóa điều này. Và hãy tưởng tượng nếu bạn muốn biết xác suất của biến ngẫu nhiên X = 2. Sử dụng ký hiệu bạn đã đề xuất, chúng ta sẽ phải nói rằng 2 = 1, đó không phải là ký hiệu tốt.

— Vách đá AB

6

Các biến ngẫu nhiên chỉ báo rất hữu ích ở chỗ chúng cung cấp một kết nối liền mạch giữa xác suất và kỳ vọng. Hãy xem xét việc chứng minh bất đẳng thức của Markov dễ dàng như thế nào với sự trợ giúp của các biến ngẫu nhiên chỉ báo: hãy để là biến ngẫu nhiên không âm, và sau đó lưu ý bất đẳng thức tầm thường . Sau đó, chúng ta có thể chỉ cần kỳ vọng của cả hai bên và thực hiện một số đại số để có được . Các bằng chứng khác, như công thức loại trừ bao gồm, cũng sử dụng kết nối này. Trong thực tế, toàn bộ lý thuyết về xác suất có điều kiện có thể được phát triển từ lý thuyết về kỳ vọng có điều kiện vì điều này. $X$ $\alpha > 0$ $\alpha I_{\{ X \geq \alpha \}} \leq X$ $P(X \geq \alpha) \leq \text{E}(X) / \alpha$

Chúng cũng rất hay ở chỗ chúng không có nghĩa là và điều này làm cho việc tính toán phương sai trở nên dễ dàng. Ngoài ra, các sản phẩm của các biến ngẫu nhiên chỉ báo chính là các biến ngẫu nhiên chỉ báo có kỳ vọng là xác suất của giao điểm. $I_A^2 = I_A$

Cuối cùng, mặc dù không thực sự là một điều xác suất, các hàm chỉ báo là một cách hay để dịch các phép toán Boolean thành các số học, rất hữu ích cho các mục đích lập trình chung. Chẳng hạn, và . $I_{A \cup B} = \max(I_A, I_B)$ $I_{A \cap B} = \min(I_A, I_B)$

— DS
nguồn

2

Đối với lập trình (hoặc mô tả thuật toán ít nhất), cũng có ký hiệu khung Iverson , có thể linh hoạt hơn. (Tôi nghĩ rằng nó đã được Knuth quảng bá và các biến thể dường như có trong nhiều ngôn ngữ lập trình hiện đại, mặc dù tôi không chắc nó phổ biến như một ký hiệu "toán học".)

— GeoMatt22