Sự khác biệt giữa biến ngẫu nhiên và mẫu ngẫu nhiên là gì?

Hai biểu hiện này làm tôi bối rối rất nhiều khi tôi đang học thống kê. Dường như với tôi rằng chúng là những thứ hoàn toàn khác nhau.

Một mẫu ngẫu nhiên là lấy ngẫu nhiên một mẫu từ dân số, trong khi đó một biến ngẫu nhiên giống như một hàm ánh xạ tập hợp tất cả các kết quả có thể có của một thử nghiệm thành một số thực.

Tuy nhiên, giả sử nếu tôi vẽ một số mẫu , , và , trong đó và không xác định, các mẫu ngẫu nhiên , , hay biến ngẫu nhiên?$X_1$$X_2$$X_3$$X_i \sim N(\mu,\sigma^2)$$\mu$$\sigma$$X_1$$X_2$$X_3$

Có, một biến ngẫu nhiên , , là một hàm từ không gian mẫu đến dòng thực. Đây là một công thức xác định có thể đơn giản như viết ra số lượng một cái chết rơi vào thí nghiệm ngẫu nhiên ném một con súc sắc. Thử nghiệm là ngẫu nhiên, theo cách chúng tôi không kiểm soát nhiều yếu tố vật lý quyết định kết quả của nó; tuy nhiên, ngay sau khi chết, biến ngẫu nhiên sẽ ánh xạ kết quả trong thế giới vật lý thành một con số.$X:\Omega \rightarrow \mathbb R$

Các ví dụ khác sẽ bao gồm đo chiều cao của mẫu tám học sinh, có lẽ để suy ra các tham số dân số (bao gồm cả giá trị trung bình và phương sai). Mỗi bé trai hay bé gái sẽ là một thử nghiệm ngẫu nhiên, khá giống như tung đồng xu. Tuy nhiên, một khi một đối tượng được chọn, ánh xạ thực tế đến một số tính bằng inch hoặc centimet không phải là đối tượng ngẫu nhiên, mặc dù tên của nó là "biến ngẫu nhiên".

Một nhóm các thí nghiệm như vậy sẽ tạo thành một mẫu :

Trong thống kê, một mẫu ngẫu nhiên đơn giản là một tập hợp con của các cá nhân (một mẫu) được chọn từ một tập hợp lớn hơn (dân số). Mỗi cá nhân được chọn ngẫu nhiên và hoàn toàn ngẫu nhiên, sao cho mỗi cá nhân có cùng xác suất được chọn ở bất kỳ giai đoạn nào trong quá trình lấy mẫu và mỗi tập hợp con của cá nhân có cùng xác suất được chọn cho mẫu như bất kỳ tập hợp con nào khác của cá nhân.$k$$k$

Tôi nghĩ rằng trong OP là một mẫu từ phân phối bình thường (mặc dù bạn không đánh vần nó, tôi nghĩ đó là ý định) và mỗi một trong số là một nhận thức về biến ngẫu nhiên.$\{X_1, X_2, X_3\}$$X_i$

Đây là một bài giống hệt nhau trên Quora và bài song song trên Math SE .

Ngoài ra, tôi đánh giá cao loạt bài giảng của Giáo sư Krishna Jagannathan từ IIT. Ông tốt nghiệp MIT và có sê-ri trực tuyến dễ tiếp cận nhất về xác suất nhẹ nhàng đưa ra lý thuyết đo lường. Tuyệt vời!

Trong ví dụ của OP, mỗi mẫu ngẫu nhiên là một quan sát của cùng một biến ngẫu nhiên . Vì vậy, mẫu ngẫu nhiên là một quan sát của một biến ngẫu nhiên. Biến ngẫu nhiên là một hàm ánh xạ không gian mẫu thành các số thực. $X_i$$X$