Xác suất rút bốn loại là bao nhiêu khi 20 lá bài được rút ra từ bộ bài 52?

Hôm qua bạn cùng phòng của tôi và tôi đang chơi các trò chơi bài và ai đó đã đặt ra câu hỏi này. Chúng tôi đã cố gắng giải quyết vấn đề, nhưng chúng tôi không thể tìm ra. Sáng nay tôi thức dậy và tôi vẫn đang tự hỏi làm thế nào để giải quyết nó. Bạn sẽ vui lòng giúp tôi ra?

Có 13 loại, vì vậy chúng tôi có thể giải quyết vấn đề cho một loại và sau đó tiến lên từ đó.

Câu hỏi đặt ra là, xác suất để vẽ 4 thành công (như vua) trong 20 mẫu từ cùng một phân phối của 4 thành công (vua) và 48 thất bại mà không thay thế là gì?

Các phân phối hypergeometric (wikipedia) cho chúng ta câu trả lời cho câu hỏi này, và đó là 1,8%.

Nếu một người bạn đặt cược để có được 4 vị vua và một người khác đặt cược cho bốn nữ hoàng, cả hai đều có 1,8% cơ hội chiến thắng. Chúng ta cần biết hai lần đặt cược trùng nhau bao nhiêu để cho biết xác suất của ít nhất một trong số họ thắng là bao nhiêu.

Sự trùng lặp của cả hai chiến thắng tương tự như câu hỏi đầu tiên, đó là: xác suất để tạo ra 8 thành công (vua và hoàng hậu) trong 20 mẫu từ phân phối 8 thành công (vua và hoàng hậu) và 44 thất bại, mà không thay thế?

Câu trả lời một lần nữa là đo độ nhạy, và theo tính toán của tôi, nó là 0,017%.

Vì vậy, xác suất có ít nhất một trong hai người bạn chiến thắng là 1,8% + 1,8% - 0,017% = 3,6%

Để tiếp tục lý luận này, phần dễ dàng là tổng hợp xác suất cho các loại riêng lẻ (13 * 1,8% = 23,4%), và phần khó khăn là tìm ra bao nhiêu trong số 13 kịch bản này trùng nhau.

Xác suất để có được 4 vị vua hoặc 4 nữ hoàng hoặc 4 con át chủ bài là tổng số của mỗi bốn loại trừ đi sự chồng chéo của chúng. Sự chồng chéo bao gồm nhận 4 vua và 4 nữ hoàng (nhưng không phải 4 quân át), nhận 4 vua và 4 quân át (nhưng không phải 4 nữ hoàng), nhận 4 nữ hoàng và 4 quân át chủ bài (nhưng không phải 4 vua) và nhận 4 vua và 4 nữ hoàng và 4 con át chủ bài.

Đây là nơi tôi có quá nhiều lông để tôi tiếp tục, nhưng tiếp tục theo cách này với công thức siêu bội trên wikipedia, bạn có thể tiếp tục và viết ra tất cả.

Có lẽ ai đó có thể giúp chúng ta giảm bớt vấn đề?

Để rút được ít nhất bốn loại được chỉ định, chúng ta phải rút tất cả thẻ yêu cầu. Đây là một phân phối siêu bội, trong đó chúng ta phải rút ra tất cả thành công từ dân số có kích thước Có các bộ bốn loại như vậy. Do đó, cơ hội nhận được ít nhất bốn loại là4 k 4 k $k$$4k$$4k$$52.$$\binom{13}{k}$$k$

$\binom{13}{k} \frac{\binom{4k}{4k}\binom{52-4k}{20-4k}}{\binom{52}{20}} = \binom{52}{20}^{-1} \binom{13}{k} \binom{52-4k}{20-4k} ,$ với giá$0\leq k\leq5.$

Theo nguyên tắc loại trừ bao gồm, xác suất vẽ ít nhất một trong bốn loại là do

$\binom{52}{20}^{-1} \sum_{k=1}^5 (-1)^{k+1} \binom{13}{k} \binom{52-4k}{20-4k} = -\binom{52}{20}^{-1} \sum_{k=1}^5 (-1)^k \binom{13}{k} \binom{4(13-k)}{4\times 8} .$

Điều này có thể được tính bằng số là khoảng$0.2197706.$

Tổng trên có dạng nếu chúng ta trừ đi thuật ngữ sau đó , vì các điều khoản cho bằng 0. Tôi tự hỏi nếu có một cách để đơn giản hóa loại tiền đó.$\sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n}{k} \binom{r(n-k)}{rm},$$k=0$$5<k\leq 13$