Làm thế nào một người nên chấp nhận vấn đề Dự án Euler 213 (Xiếc Flea Circus ')?

Tôi muốn giải quyết Project Euler 213 nhưng không biết bắt đầu từ đâu vì tôi là giáo dân trong lĩnh vực Thống kê, lưu ý rằng cần có câu trả lời chính xác để phương pháp Monte Carlo không hoạt động. Bạn có thể giới thiệu một số chủ đề thống kê để tôi đọc không? Xin vui lòng không đăng giải pháp ở đây.

Rạp xiếc

Một ô vuông 30 × 30 chứa 900 con bọ chét, ban đầu là một con bọ chét trên mỗi ô vuông. Khi chuông rung, mỗi con bọ chét nhảy đến một hình vuông liền kề một cách ngẫu nhiên (thường là 4 khả năng, ngoại trừ bọ chét trên mép lưới hoặc ở các góc).

Số lượng hình vuông không có người trông đợi sau 50 vòng chuông là bao nhiêu? Đưa ra câu trả lời của bạn làm tròn đến sáu chữ số thập phân.

Bạn đúng; Monte Carlo là không thể. (Trong một mô phỏng ngây thơ - có nghĩa là, một trong những chính xác tái tạo tình hình vấn đề mà không bất kỳ đơn giản hóa - mỗi lần lặp sẽ bao gồm 900 di chuyển con bọ chét Một ước tính thô của tỷ lệ ô trống là. , ngụ ý sự thay đổi của Monte -Carlo ước tính sau khi N lặp như vậy là khoảng 1 / N 1 / e ( 1 - 1 / e ) = 0,2325 ... /$1/e$$N$$1/N 1/e (1 - 1/e) = 0.2325\ldots /N$. Để xác định câu trả lời đến sáu chữ số thập phân, bạn cần ước tính nó trong phạm vi 5.E-7 và, để đạt được độ tin cậy 95 +% (giả sử), bạn sẽ phải giảm một nửa độ chính xác đó xuống 2,5E-7 . Giải choN>4E12, xấp xỉ. Đó sẽ là khoảng 3.6E15 bọ chét di chuyển, mỗi lần lấy vài tích tắc của CPU. Với một CPU hiện đại có sẵn, bạn sẽ cần cả năm tính toán (hiệu quả cao). Và tôi đã phần nào không chính xác và quá mức giả định rằng câu trả lời được đưa ra theo tỷ lệ thay vì đếm: như một số đếm, nó sẽ cần ba con số quan trọng hơn, kéo theo sự gia tăng hàng triệu lần tính toán ... Bạn có thể đợi lâu không?)$\sqrt(0.2325/N) \lt 2.5E-7$$N > 4E12$

Theo như một giải pháp phân tích, một số đơn giản hóa có sẵn. (Chúng cũng có thể được sử dụng để rút ngắn tính toán Monte Carlo.) Số lượng ô trống dự kiến ​​là tổng xác suất của sự trống rỗng trên tất cả các ô. Để tìm điều này, bạn có thể tính toán phân phối xác suất số lượng chiếm dụng của từng ô. Những phân phối này có được bằng cách tổng hợp các đóng góp (độc lập!) Từ mỗi con bọ chét. Điều này giúp giảm vấn đề của bạn trong việc tìm số lượng đường dẫn có độ dài 50 dọc theo lưới 30 x 30 giữa bất kỳ cặp ô đã cho nào trên lưới đó (một là nguồn gốc của bọ chét và một ô khác là ô mà bạn muốn tính xác suất của bọ chét).

Bạn có thể không lặp lại thông qua xác suất chiếm đóng của các tế bào cho mỗi con bọ chét. Nghĩa là, flea k ban đầu nằm trong ô (i ​​(k), j (k)) với xác suất 1. Sau 1 lần lặp, anh ta có xác suất 1/4 trong mỗi 4 ô liền kề (giả sử anh ta không ở cạnh hoặc trong một góc). Sau đó, lần lặp lại tiếp theo, lần lượt từng khu vực đó được "bôi nhọ". Sau 50 lần lặp, bạn có một ma trận xác suất nghề nghiệp cho bọ chét k. Lặp lại trên tất cả 900 con bọ chét (nếu bạn tận dụng các đối xứng, điều này sẽ giảm gần 8 lần) và thêm xác suất (bạn không cần lưu trữ tất cả chúng cùng một lúc, chỉ là ma trận của bọ chét hiện tại (hmm, trừ khi bạn rất thông minh, bạn có thể muốn có một ma trận làm việc bổ sung) và tổng ma trận hiện tại). Đối với tôi có vẻ như có rất nhiều cách để tăng tốc độ này lên đây.

Điều này liên quan đến không có mô phỏng nào cả. Tuy nhiên, nó liên quan đến khá nhiều tính toán; không nên quá khó để tìm ra kích thước mô phỏng cần thiết để đưa ra câu trả lời có độ chính xác cao hơn 6 dp với xác suất cao và tìm ra cách tiếp cận nào sẽ nhanh hơn. Tôi hy vọng phương pháp này sẽ đánh bại mô phỏng bởi một số lề.

Mặc dù tôi không phản đối sự bất khả thi thực tế (hoặc không thực tế) của độ phân giải Monte Carlo của vấn đề này với độ chính xác là 6 chữ số thập phân được chỉ ra bởi whuber , tôi nghĩ rằng có thể đạt được độ phân giải có sáu chữ số chính xác.

$t+1$$t$$K$

$K^2$

$\hat{p}_0$$50$$(\mathbf{X}^{(t)})$

pot=rep(c(rep(c(0,1),15),rep(c(1,0),15)),15)*c(2,
    rep(3,28),2,rep(c(3,rep(4,28),3),28),2,rep(3,28),2)
pot=pot/sum(pot)
sum((1-pot)^450)-450
[1] 166.1069

$166.11$

Theo nhận xét của whuber , các ước tính cần được nhân với 2 để trả lời chính xác câu hỏi, do đó giá trị cuối cùng là 332,2137,

Một cách tiếp cận phân tích có thể là tẻ nhạt và tôi đã không nghĩ qua những điều phức tạp nhưng đây là một cách tiếp cận mà bạn có thể muốn xem xét. Vì bạn quan tâm đến số lượng ô dự kiến ​​trống sau 50 vòng, bạn cần xác định chuỗi markov trên "Không có bọ chét trong một ô" thay vì vị trí của bọ chét (Xem câu trả lời của Glen_b mô hình vị trí của một con bọ chét như một chuỗi markov. Như Andy đã chỉ ra trong các bình luận cho câu trả lời đó, cách tiếp cận đó có thể không đạt được điều bạn muốn.)

Cụ thể, hãy:

$n_{ij}(t)$$i$$j$

Sau đó, chuỗi markov bắt đầu với trạng thái sau:

$n_{ij}(0) =1$$i$$j$

Vì bọ chét di chuyển đến một trong bốn ô liền kề, trạng thái của một ô thay đổi tùy thuộc vào số lượng bọ chét trong ô đích và có bao nhiêu con bọ chét trong bốn ô liền kề và xác suất chúng sẽ di chuyển đến ô đó. Sử dụng quan sát này, bạn có thể viết xác suất chuyển trạng thái cho mỗi ô dưới dạng hàm của trạng thái của ô đó và trạng thái của các ô liền kề.

Nếu bạn muốn tôi có thể mở rộng câu trả lời hơn nữa nhưng điều này cùng với phần giới thiệu cơ bản về chuỗi markov sẽ giúp bạn bắt đầu.

nếu bạn định đi theo con đường số, một quan sát đơn giản: vấn đề dường như phải chịu sự tương đương đỏ-đen (một con bọ chét trên hình vuông màu đỏ luôn di chuyển đến hình vuông màu đen và ngược lại). Điều này có thể giúp giảm một nửa kích thước vấn đề của bạn (chỉ cần xem xét hai lần di chuyển cùng một lúc và chỉ nhìn vào bọ chét trên các ô vuông màu đỏ, nói.)

Tôi nghi ngờ rằng một số kiến ​​thức về chuỗi Markov thời gian rời rạc có thể chứng minh hữu ích.