Sự hội tụ Epsilon trong Xác suất là gì?

8

Tôi hiểu rằng công thức xác suất hội tụ là $P[|X_n − X_\infty| \gt \epsilon ]\to 0$ và tôi có thể giải các bài toán bằng công thức. Bất cứ ai có thể giải thích nó bằng trực giác (như tôi là một năm tuổi), đặc biệt là liên quan đến những gì $\epsilon$ là?

probability convergence intuition

— bdempe
nguồn

Chúng tôi đã nghiên cứu

ε

$\varepsilon$ ở lớp 9 vào lớp Phân tích ở trường trung học. Đó là một trong những điều khó khăn nhất để hiểu đối với tôi. Tôi không nghĩ bạn có thể giải thích điều đó bình thường 5 yo

— Aksakal

Không phải theo nghĩa đen với năm bạn già .... Chỉ cần rõ ràng nhất có thể

— bdempe

Tôi, đối với một, không hiểu điều này trong bối cảnh giới hạn.

P [| X_{n} - X_{\infty} | < ϵ] \to 0

$P[|X_n − X_\infty| < \epsilon ]\to 0$ sẽ cho phép một người chọn

ϵ

$\epsilon$ dù mức độ chênh lệch

nhỏ đến mức nào?

P [| X_{n} - X_{\infty} |

$P[|X_n − X_\infty|$ ít hơn mức đó sẽ hội tụ, nhưng

P [| X_{n} - X_{\infty} | > ϵ]

$P[|X_n − X_\infty| > \epsilon ]$ sẽ không. Vì vậy, ai đó hãy giải thích.

— Carl

4

Vì chúng ta đang nói về sự hội tụ - đặc biệt, trong trường hợp này, tụ với - chúng tôi muốn chứng minh rằng được thực sự, thực sự, thực sự gần gũi với như được lớn hơn và lớn hơn. $X_n$ $X_\infty$ $X_n$ $X_\infty$ $n$

Hãy nghĩ về như bất kỳ số dương thực sự nhỏ nào; nói bạn nghĩ là đủ tốt. Sau đó, để chứng minh rằng là thực sự, thực sự, thực sự gần gũi với , chúng tôi muốn chứng minh rằng rơi bên trong cho đủ lớn . (Đủ lớn chỉ có nghĩa rằng có một số như vậy mà cho mỗi , $\varepsilon$ $\varepsilon = 0.01$ $X_n$ $X_\infty$ $X_n$ $(X_\infty-0.01,X_\infty+0.01)$ $n$ $n$ $n'$ $n > n'$ nằm trong cộng hoặc trừ của với xác suất 1.) $X_n$ $0.01$ $X_\infty$

Nhưng nói rằng tôi không tin rằng hội tụ để vì chỉ có vẻ quá lớn đối với tôi. Vì vậy, thay vào đó, chúng ta hãy . Sau đó, tôi đang thuyết phục rằng hội tụ để (hoặc là thực sự, thực sự, thực sự gần gũi với ) nếu chúng ta có thể thấy rằng, cho đủ lớn , rơi bên trong $X_n$ $X_\infty$ $\varepsilon=0.01$ $\varepsilon = 0.0001$ $X_n$ $X_\infty$ $X_n$ $X_\infty$ $n$ $X_n$ $(X_\infty-0.0001,X_\infty+0.0001)$ .

Giả sử bạn có rất nhiều bạn bè người chọn nhỏ hơn và nhỏ hơn. Ý tưởng đằng sau sự hội tụ là đối với bất kỳ , không có vấn đề nhỏ như thế nào được, cho thấy rằng rơi bên cho đủ lớn chứng minh rằng hội tụ để . $\varepsilon$ $\varepsilon > 0$ $\varepsilon$ $X_n$ $X_\infty\pm\varepsilon$ $n$ $X_n$ $X_\infty$

Trong các điều khoản cơ bản nhất, chỉ là một số dương nhỏ. Vì nó liên quan đến hội tụ, bạn muốn có thể để cho thấy rằng đối với bất kỳ (vì vậy mà tất cả bạn bè vô hạn của bạn với nhau giá trị này được thuyết phục), trình tự mà hội tụ sẽ, tại một số điểm, có được trong cộng hoặc trừ giới hạn mà bạn tin rằng hội tụ dãy. Nếu bạn không thể chứng minh rằng chuỗi của bạn nằm trong giới hạn tin đối với một số , sau đó trình tự không thể hội tụ về giới hạn đó. $\varepsilon$ $\varepsilon > 0$ $\varepsilon$ $\varepsilon$ $\varepsilon$ $\varepsilon$

— Matt Brems
nguồn

Bạn có thể nói nhỏ hơn

, sẽ đòi hỏi một lớn hơn

để chứng minh điều đó hội tụ?

ϵ

$\epsilon$

n

$n$

— Matt L.

Đó thường là trường hợp, Matt, nhưng không phải lúc nào cũng đúng. Như một ví dụ tầm thường, giả sử chuỗi của bạn là

Và bạn muốn để chứng minh rằng hội tụ này để 2. Không thành vấn đề nhỏ như thế nào bạn

là,

sẽ đủ để chứng minh rằng nó hội tụ. Tuy nhiên, điều quan trọng là chỉ ra rằng, để chứng minh điều gì đó hội tụ trong bối cảnh này, bạn phải có khả năng hiển thị này cho * tất cả *

, không có vấn đề nhỏ như thế nào. Nó không phải là đủ để chọn một

và nói rằng nó hội tụ. Ví dụ, hãy xem xét chuỗi được đưa ra bởi

{2, 2, 2, . . .}

$\{2,2,2,...\}$

ε

$\varepsilon$

n = 1

$n=1$

ε > 0

$\varepsilon>0$

ε

$\varepsilon$

và cho

.

X_{n} = s i n (n)

$X_n=sin(n)$

ε = 10

$\varepsilon = 10$

— Matt Brems

5

Chuỗi các biến ngẫu nhiên.

Trực giác đến từ ẩn dụ. Phép ẩn dụ sau đây, mô hình số lượng ngẫu nhiên bằng cách kéo các mẩu giấy ra khỏi thùng chứa, nắm bắt tất cả các yếu tố toán học cần thiết trong khi che đậy một điều kiện kỹ thuật ("đo lường") cần thiết để hiểu được tình huống có nhiều vé.

$\Omega$ $\omega\in\Omega$

$X$ $\omega$ $X$ $X(\omega)$

$X_1, X_2, \ldots, X_n, \ldots$ $X_1(\omega), X_2(\omega),\ldots$

$X_\infty$

Sự kiện và xác suất.

$\epsilon$

$|X_n - X_\infty| \ge \epsilon$ $\omega\in\Omega$ $X_n(\omega)$ $X_\infty(\omega)$ $\epsilon$ $\Pr\left(|X_n - X_\infty| \ge \epsilon\right)$

Hạn mức.

$L$ $\delta$ $\delta$ $L$ $\delta$

Giới hạn trong xác suất.

$\Pr\left(|X_n - X_\infty| \ge \epsilon\right)\to 0$ $\epsilon$

$\epsilon$ $\delta \gt 0$ $X_i$ $X_n$ $X_n(\omega)$ $X_\infty(\omega)$ $\epsilon$ $n$ $\delta$ $X_n$ vẫn còn đó).

$n$ $m$ $n$ $m$ $X_n(\omega)$

— whuber
nguồn

Tôi năm tuổi. Tôi không có ý tưởng những gì bạn đang nói về. Bạn đã mất tôi tại "một không gian mẫu". Bạn sẽ mất bạn cùng lớp ít phát triển của tôi ở câu đầu tiên. Cảm ơn đã cố gắng.

1

@mickeyf Bạn được chào đón. Tôi đã chú ý đến nhận xét của OP tại stats.stackexchange.com/questions/242793/ .

— whuber