Giá trị trung bình và phương sai của trung vị của một tập hợp các biến ngẫu nhiên bình thường iid là gì?

Để cho $X_1$, ... $X_n$ được phân phối độc lập các biến ngẫu nhiên với $N(\mu, \sigma^2)$

Thật dễ dàng để chỉ ra rằng mẫu có nghĩa là $\bar{X} = \frac{1}{n}\sum^n_{i = 0}{X_i}$ là một biến ngẫu nhiên với $N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$.

Tuy nhiên, tôi đang gặp khó khăn trong việc tìm kiếm phân phối trung bình mẫu $median(X)$ là, đặc biệt là về ý nghĩa và phương sai của nó.

Tôi hỏi bởi vì tôi đang cố gắng tóm tắt một số tính năng trong các nhóm được xác định trước để giảm số lượng thử nghiệm mà tôi phải thực hiện giữa hai điều kiện.

Nếu không có câu trả lời đơn giản cho điều này, như tôi nghi ngờ, tôi sẽ quan tâm đến việc biết phương sai của $median(X)$, đặc biệt là nó khác với $\bar{X}$.

Trung vị là thống kê trật tự trung tâm khi số lượng quan sát là số lẻ. Nếu$n$ thậm chí sau đó trung vị là một thống kê đơn hàng, hoặc giá trị trung bình của 2 thống kê đơn hàng (hoặc một cái gì đó khác) tùy thuộc vào định nghĩa về trung vị bạn sử dụng.

Vì vậy, phân phối chính xác của trung vị có thể được thực hiện dựa trên phân phối số liệu thống kê đơn hàng. Cho lẻ$n$ nơi tất cả $x$Tôi là iid từ pdf $f$ với phân phối tích lũy $F$ phân bố của trung vị là:

$\binom{n-1}{(n-1)/2} F(x)^{\frac{n-1}2} f(x) (1-F(x))^{\frac{n-1}2}$

Bạn có thể google "phân phối số liệu thống kê đơn hàng" để biết thêm chi tiết và phái sinh.

Đối với bình thường, chúng tôi không có giải pháp dạng đóng cho , nhưng có các công cụ tính toán có thể giúp ước tính ở trên (xem gói distr cho R để biết một khả năng).$F(x)$

Nếu mục tiêu chính của bạn chỉ là ước tính phương sai của trung vị, thì cách tiếp cận đơn giản hơn chỉ là mô phỏng một loạt các bộ dữ liệu và tính toán phương sai của trung vị của chúng (và phương sai của phương tiện để so sánh).

Bài viết trên Wikipedia về "Median" cũng có thông tin có thể được quan tâm.