Một công ty điện tử sản xuất các thiết bị hoạt động đúng 95% thời gian

Một công ty điện tử sản xuất các thiết bị hoạt động đúng 95% thời gian. Các thiết bị mới được vận chuyển trong các hộp 400. Công ty muốn đảm bảo rằng k hoặc nhiều thiết bị trên mỗi hộp hoạt động. K lớn nhất là bao nhiêu để ít nhất 95% các hộp đáp ứng bảo hành?

Nỗ lực: Tôi biết tôi nên sử dụng Định lý giới hạn trung tâm cho vấn đề này, nhưng không chắc N nên có gì trong thiết lập vì có 400 thiết bị trong mỗi hộp và không biết số lượng hộp. Bất cứ ai có thể cho tôi một gợi ý về các thiết lập? Cảm ơn!

Bạn phải giả sử các thiết bị trong bất kỳ hộp nào là độc lập. Khi đó là trường hợp, số lượng thiết bị làm việc trong bất kỳ hộp nào phải tuân theo phân phối Binomial. Các tham số là (số lượng thiết bị trong hộp) và 0,95 (tốc độ làm việc).$400$$.95$

Giả sử bạn đảm bảo hoặc nhiều thiết bị trên mỗi hộp làm việc. Bạn đang nói rằng ít nhất 95% của tất cả các hộp như vậy có chứa k hoặc nhiều thiết bị làm việc. Trong ngôn ngữ của các biến và phân phối ngẫu nhiên, bạn đang khẳng định rằng cơ hội của biến Binomial ( 400 , 0,95 ) bằng hoặc vượt quá k ít nhất là 95 % . Giải pháp được tìm thấy bằng cách tính toán 100 - 95 = phần trăm thứ năm của phân phối này. Phần tế nhị duy nhất là vì đây là một bản phân phối rời rạc, chúng ta nên cẩn thận để không trở thành một trong câu trả lời của chúng tôi.$k$$k$$(400, 0.95)$$k$$95\%$$100-95$

Rcho chúng ta biết phần trăm thứ năm là :$k=373$

qbinom(.05, 400, .95)

373

Hãy kiểm tra bằng cách tính toán cơ hội bằng hoặc vượt quá giá trị này:

pbinom(373-1, 400, .95, lower.tail=FALSE)

0,9520076

(Hơi phản trực giác, đối với tôi ít nhất, là các lower.tail=FALSEđối số của R's pbinomchức năng nào không bao gồm giá trị của đối số của nó. Như vậy, pbinom(k,n,p,lower.tail=FALSE)tính cơ hội gắn liền với một kết quả hoàn toàn lớn hơn k.)

Khi kiểm tra kỹ, hãy xác nhận rằng chúng tôi không thể đảm bảo giá trị lớn hơn:

pbinom(373, 400, .95, lower.tail=FALSE)

0,9273511

$0.95$

Nói cách khác, chúng tôi đã tìm thấy rằng

$95.2\%$$k=373$$92.7\%$$374$$373$$95\%$

Ngẫu nhiên, một phân phối bình thường hóa ra là một xấp xỉ tuyệt vời cho câu hỏi cụ thể này. (Thay vì hiển thị câu trả lời bạn sẽ nhận được, tôi sẽ để bạn làm phép tính, vì bạn chỉ yêu cầu thông tin về cách thiết lập vấn đề.)

Biểu đồ này so sánh hàm phân phối Binomial với xác suất Bình thường gần đúng của nó.

$k=373$

"Ít nhất" từ "ít nhất 95%" có nghĩa là "tối thiểu".

Mã số:

#reproducible
set.seed(250048)

#how many times to check
N_repeats <- 500000

#stage for loop
temp <- numeric()

#loop
for (j in 1:N_repeats){

     #draw 400 samples at 95% rate
     y <- rbinom(n = 400,size = 1,prob = 0.95)

     #compute and store sampled rate
     temp[j] <- mean(y)

}

#print summary (includes min)
summary(temp)

Các kết quả:

> summary(temp)
   Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
 0.8900  0.9425  0.9500  0.9500  0.9575  0.9925

Khi tôi nhìn vào điều này, tôi thấy rằng giá trị tối thiểu cho tỷ lệ là 89%. Điều này có nghĩa là trong nửa triệu lần thử, trường hợp xấu nhất là 89% hoạt động.

89% của 400 là 356. Điều này mang lại khoảng 100% chứ không phải 95%. Có khả năng 100% thực tế thấp hơn mức này.

#find the 95% case
quantile(temp,probs = 0.05)

sản lượng:

> quantile(temp,probs = 0.05)
    5% 
0.9325 

93,25% của 400 là 373. Đây không phải là một cạnh của dữ liệu, mà là phần bên trong, vì vậy nó có khả năng là một ước tính tốt. Câu trả lời của bạn sẽ gần với 373.