Là hai biến ngẫu nhiên tiêu chuẩn bình thường luôn luôn độc lập?

16

Tôi đã học được rằng phân phối chuẩn thông thường là duy nhất bởi vì giá trị trung bình và phương sai được cố định ở mức 0 và 1 tương ứng. Bởi thực tế này, tôi tự hỏi nếu bất kỳ hai biến ngẫu nhiên tiêu chuẩn phải độc lập.

normal-distribution independence

— C.Hawk
nguồn

12

Tại sao họ nên ..? Độc lập không có gì để làm với phân phối.

— Tim

27

Cân nhắc

và

. Họ không độc lập.

X

$X$

X

$X$

— djechlin

Bạn có thể thấy điều này hữu ích từ quan điểm thực tế. stats.stackexchange.com/questions/15011/ Mạnh

— JustGettinStarted

Ngoài các ví dụ hay được đưa ra, hãy xem xét một phân phối chuẩn bivariate với các phân phối biên N (0 ,!). Có thể có bất kỳ mối tương quan nào giữa -1 và 1. Các ví dụ dưới đây đều là những trường hợp đặc biệt. Như một bên có thể cho hai biến bình thường tiêu chuẩn là phụ thuộc nhưng không có phân phối bivariate.

— Michael R. Chernick

1

Tôi nhận thấy Batman đưa ra một kết quả chung có thể giống như những gì tôi đang đề xuất. Trường hợp Y = -X có tương quan -1 và do đó là một dạng suy biến của một bivariate bình thường. Tôi chưa thấy một ví dụ nào ở đây (trên bài đăng này) minh họa một trường hợp không phân chia bình thường.

— Michael R. Chernick

42

Câu trả lời là không. Ví dụ: nếu là biến ngẫu nhiên tiêu chuẩn, thì tuân theo cùng một thống kê, nhưng và phụ thuộc rõ ràng. $X$ $Y=-X$ $X$ $Y$

— zap
nguồn

26

Không, không có lý do để tin rằng bất kỳ hai gaussian tiêu chuẩn là độc lập.

Đây là một công trình toán học đơn giản. Giả sử và là hai biến bình thường tiêu chuẩn độc lập. Rồi cặp $X$ $Y$

X, \frac{X + Y}{\sqrt{2}}

$X, \frac{X + Y}{\sqrt{2}}$

là hai biến bình thường tiêu chuẩn phụ thuộc . Vì vậy, miễn là chúng là hai biến bình thường độc lập , phải có hai biến phụ thuộc .

Biến thứ hai là bình thường vì bất kỳ sự kết hợp tuyến tính nào của các biến bình thường độc lập lại bình thường. các là có để làm cho phương sai bằng. $\sqrt{2}$ $1$

V (\frac{X + Y}{\sqrt{2}}) = \frac{1}{{\sqrt{2}}^{2}} (V (X) + V (Y)) = 1

$V \left(\frac{X + Y}{\sqrt{2}} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}^2} (V(X) + V(Y)) = 1$

$X$ $X = x$

E [\frac{X + Y}{\sqrt{2}} ∣ X = x] = \frac{x}{\sqrt{2}}

$E \left[\frac{X + Y}{\sqrt{2}} \mid X = x \right] = \frac{x}{\sqrt{2}}$

— Matthew Drury
nguồn

7

Đây là một câu trả lời khá rộng:

$X,Y$ $a,b$ $a X + bY$ $X$ $Y$ $E[(X-E[X])(Y-E[Y])]=0$ (i.e. they are uncorrelated). See these notes, for example, for details.

How can you generate standard normal random variables which are not independent? Pick your favorite matrix of the form $\Sigma=\begin{bmatrix} 1 & p \\ p & 1 \end{bmatrix}$ such that $(\lambda-1)^2 - p^2$ has positive roots in $\lambda$ . Then, apply the Cholesky decompositon to $\Sigma= R R^T$ . Then, take two independent standard normal random variables $U,V$ and then the vector $R \begin{bmatrix} U \\ V \end{bmatrix}$ has standard normal components, but the components are independent if and only if $p=0$ .

— Batman
nguồn

5

A non-bivariate normal example (as Michael Chernick suggests in the comments):

Let $f_{X,Y}(x,y) = \begin{cases} \frac{1}{\pi} e^{-\frac{x^2+y^2}{2}} & xy\geq 0 \\ 0 & o.w. \end{cases}$ .

This is not a bivariate normal distribution, but a simple integral shows that both marginals are standard normal. They're obviously not independent since $f_{X,Y}(x,y) \neq f_X(x) f_Y(y)$ .

— Batman
nguồn