Thống kê toán học (khoảnh khắc so với khoảnh khắc trung tâm)

Nếu (không nhất thiết phải là số nguyên), thì làm thế nào để chứng minh rằng khoảnh khắc thô tồn tại khi và chỉ khi khoảnh khắc trung tâm tồn tại? Tôi nghĩ rằng tôi phải áp dụng một số bất bình đẳng nhưng tôi không thể tìm ra nó.$r \ge 1$$r^\text{th}$$r^\text{th}$

Hai thuộc tính nổi bật của số thực và là$x, y,$$\mu$

1. Bất đẳng thức tam giácvà

   $$|x-\mu| \le |x|+|\mu|$$ $$|x| \le |x-\mu| + |\mu|.$$

2. Tăng sức mạnh cho giữ trật tự: và (do đó)$r$$r \gt 0$

   $$|x| \le |y| \text{ implies } |x|^r \le |y|^r$$ $$\max(|x|^r, |y|^r) = \max(|x|,|y|)^r.$$

Lưu ý, mối quan hệ đơn giản

$$|x| + |y| \le 2\max(|x|, |y|).$$

Do đó, đối với bất kỳ biến ngẫu nhiên và số thực ,$X$$\mu$

$$|X-\mu|^r \le \left(|X| + |\mu|\right)^r \le \left(2\max\left(|X|, |\mu|\right)\right)^r = 2^r\max\left(|X|^r, |\mu|^r\right)$$

và

$$|X|^r \le \left(|X-\mu| + |\mu|\right)^r \le \cdots \le 2^r\max\left(|X-\mu|^r, |\mu|^r\right).$$

Để và lấy kỳ vọng sẽ thiết lập sự bất bình đẳng bạn cần.$\mu = \mathbb{E}(X)$