Tên của phân phối có mật độ xác suất như gì?

8

Xin hãy tha thứ cho sự thiếu hiểu biết của tôi, tên của phân phối với mật độ xác suất như thế này là gì? hay nói chung hơn là hoặc trong đó là một hằng số chuẩn hóa.

p (x) \propto \frac{1}{1 + e^{x}}, x > 0,

$p(x) \propto \frac{1}{1 + e^x},\quad x > 0\,,$

p (x) \propto \frac{1}{1 + α e^{β x}}, x > 0,

$p(x) \propto \frac{1}{1 + \alpha e^{\beta x}},\quad x > 0\,,$

p (x) = η \frac{1}{1 + α e^{β x}}, x > 0,

$p(x) = \eta \frac{1}{1 + \alpha e^{\beta x}},\quad x > 0\,,$

η

$\eta$

probability distributions

— gwding
nguồn

16

Điều này giống hệt với phân phối phổ biến trong vật lý gọi là phân phối Fermi-Dirac, mô tả một tình huống gọi là thống kê Fermi-Dirac . Trong một cài đặt nhất định trong vật lý, số hạt trung bình có năng lượng là trong đó , và là các thông số vật lý có thể không quan trọng đối với bạn (tiềm năng hóa học, hằng số của Boltzmann và nhiệt độ). Nó tầm thường để diễn giải lại đây là hàm mật độ xác suất cho năng lượng của hạt. $\epsilon$

{\bar{n}}_{ϵ} = \frac{1}{e^{(ϵ - μ) / k T} + 1}

$\bar{n}_\epsilon = \frac{1}{e^{(\epsilon -\mu)/kT}+1}$

μ

$\mu$

k

$k$

T

$T$

— jwimberley
nguồn

cảm ơn! vì tôi cũng có một tham số mà tôi có thể điều chỉnh, bạn có nên gọi nó là "phân phối FD mở rộng / tổng quát hóa / sửa đổi" không? hoặc bạn có bất kỳ đề nghị về loại quy ước đặt tên này?

α

$\alpha$

— gwding

2

@gwding Tham số alpha của bạn tương ứng với tham số "tiềm năng hóa học" trong phân phối FD: . Đây có thể là trường hợp bạn hiểu rõ hơn về bản chất của phân phối bằng cách sử dụng một cái gì đó gần với hình thức vật lý hơn, với trong mẫu số. Thật trùng hợp, thường được ký hiệu là trong vật lý, vì vậy quy ước đặt tên của bạn cho tham số đó là như nhau!

α = \exp (- μ / k T)

$\alpha = \exp(-\mu/kT)$

\exp (β (x - x_{0}))

$\exp(\beta(x-x_0))$

1 / k T

$1/kT$

β

$\beta$

— jwimberley

9

Hằng số chuẩn hóa cho lần đầu tiên phải là (không phải là nó thực sự quan trọng đối với câu hỏi hiện tại). $\frac{1}{\ln(2)}$

Tôi không biết có một cái tên. Hàm đầu tiên (không có hằng số chuẩn hóa ) là hàm sống sót cho phân phối logistic bị cắt ngắn, nhưng tôi chưa thấy nó được sử dụng cho hàm mật độ (mặc dù tôi nghĩ rằng nó có thể đã được đặt tên nhiều lần ... đó thường là trường hợp với các hình thức chức năng đơn giản không được sử dụng rộng rãi, nơi mọi người "phát minh lại" những thứ đó mà không gặp phải những ý tưởng trước đây, thường ở các lĩnh vực ứng dụng khác nhau *). $\log(2)$

Nếu bạn đã cố gắng đặt tên cho nó, thì vì dạng chức năng kiểu logistic mà bạn có thể muốn ép từ "logistic" ở đó ở đâu đó, nhưng khó khăn trong việc chọn một tên có thể phân biệt nó đủ với mật độ logistic.

* và câu trả lời của jwimberly cung cấp một lĩnh vực ứng dụng như vậy. Tên " Phân phối Fermi-Dirac " có vẻ là một lựa chọn hoàn toàn hợp lý nếu bạn không có tên trong khu vực ứng dụng bạn đang làm việc.

— Glen_b -Reinstate Monica
nguồn

1

Mật độ tích hợp để thống nhất trên sẽ là $[0,\infty]$

f_{X} (x) = \frac{θ}{\ln 2} \frac{1}{1 + e^{θ x}}, θ > 0

$f_X(x) = \frac {\theta}{\ln 2}\frac{1}{1+e^{\theta x}},\;\;\; \theta >0$

Những khoảnh khắc thô được đưa ra bởi

E (X^{k}) = \frac{(1 - 2^{- k})}{\ln 2} \frac{1}{θ^{k}} \cdot Γ (k + 1) \cdot ζ (k + 1)

$E(X^k) = \frac {(1-2^{-k})}{\ln 2} \frac {1}{\theta^{k}}\cdot \Gamma(k+1) \cdot \zeta(k+1)$

Trong đó là hàm Gamma và là hàm zeta Riemann. Vì thế $\Gamma()$ $\zeta()$

E (X) = \frac{π^{2}}{12 \cdot \ln 2} θ^{- 1} \approx 1.1866 \cdot θ^{- 1}

$E(X) = \frac {\pi^2}{12\cdot \ln 2}\theta^{-1} \approx 1.1866 \cdot \theta^{-1}$

E (X^{2}) \approx \frac{7.212}{4 \cdot \ln 2} θ^{- 2} \approx 2.601 \cdot θ^{- 2}

$E(X^2) \approx \frac {7.212}{4\cdot \ln 2}\theta^{-2} \approx 2.601 \cdot \theta^{-2}$

dẫn tới

Var (X) \approx 1.193 \cdot θ^{- 2}

$\text{Var}(X) \approx 1.193 \cdot \theta^{-2}$

Tính toán số xác minh những điều này.

— Alecos Papadopoulos
nguồn

1

Làm thế nào điều này trả lời câu hỏi?

— Jorge Leitao

@ JCLeitão Tôi có xu hướng nhìn rộng hơn về "câu hỏi là gì". Xem bài đăng này, meta.stats.stackexchange.com/q/2158/28746 , nơi tôi nâng cao đối số của mình và cũng cung cấp một số dữ liệu cv để sao lưu. Ngoài ra, cung cấp biểu thức thời điểm cho một phân phối chưa được nghiên cứu, là kiến thức hữu ích cho bất kỳ ai quan tâm đến việc sử dụng phân phối.

— Alecos Papadopoulos

Tôi đồng ý với kết luận của bạn trong meta bạn đã đề cập, "Khoảnh khắc của tệp PDF này là X" không phải là câu trả lời rộng hơn cho câu hỏi "PDF này có tên như thế nào?". Phân phối cũng đã được nghiên cứu trước đây, giống như các câu trả lời khác tham khảo.

— Jorge Leitao

@ JCLeitão Như tôi đã viết, mối quan tâm và tiêu chí chính của tôi là liệu thông tin có liên quan và hữu ích có mặt trong chủ đề này không - và nó là như vậy. Kết nối với phân phối Fermi-Dirac đã được ghi nhận trong các câu trả lời khác nhưng tôi không thấy biểu hiện rõ ràng cho những khoảnh khắc thô. Đó là một hiện tượng thông thường cho các câu trả lời trong CV không phải là cạnh tranh mà là bổ sung, mỗi cung cấp một số thông tin / kiến thức hữu ích.

— Alecos Papadopoulos