Một vấn đề sinh nhật ngược: không có cặp nào trong số 1 triệu người ngoài hành tinh chia sẻ một ngày sinh nhật; chiều dài năm của họ là bao nhiêu?

Giả sử một hành tinh có một năm rất dài là ngày. Có 1 triệu người ngoài hành tinh tại một bữa tiệc trong một căn phòng, và không ai có thể chia sẻ một ngày sinh nhật. Điều gì có thể được suy ra về kích thước của ? $N$ $N$

(Câu hỏi nhỏ gọn hơn này thay thế cho câu hỏi khó hiểu này. )

probability birthday-paradox

— Paul Uszak
nguồn

Vấn đề sinh nhật cho bạn biết giá trị của N trong đó xác suất có ít nhất một trận đấu lớn hơn một giá trị được chỉ định. Khi p = 1/2, thật đáng ngạc nhiên khi trực giác rằng điều này mang lại cho n = 23 .. Điều này giả định rằng mỗi sinh nhật có xác suất thống nhất như nhau (1/365). Nonuniformity chỉ làm cho n nhỏ hơn. Bây giờ trong vấn đề của bạn, có vẻ như N thay thế 365 và tôi cho rằng giả định tính đồng nhất được duy trì.

— Michael R. Chernick

Nếu N <= 1.000.000 thì ít nhất 1 trận đấu có xác suất = 1 và do đó 0 trận đấu có xác suất = 0.

— Michael R. Chernick

Vì vậy, khi N> 1.000.000, xác suất của ít nhất 1 trận đấu có xác suất <1 và do đó xác suất của các trận đấu bằng 0 bắt đầu tăng lên.

— Michael R. Chernick

@Michael Vui lòng bảo lưu ý kiến cho các yêu cầu làm rõ và các cuộc thảo luận ngẫu nhiên khác, và cố gắng chỉ đăng một lần: có lý do chính đáng cho giới hạn ký tự. Nếu bạn thấy mình đang thảo luận về một điều gì đó quan trọng đòi hỏi nhiều bình luận, có lẽ bạn đang cố gắng trả lời câu hỏi, vì vậy bạn cũng có thể đăng câu trả lời.

— whuber

Giả sử tất cả các sinh nhật đều có khả năng như nhau và sinh nhật là độc lập, khả năng người ngoài hành tinh không chia sẻ ngày sinh nhật là $k+1$

p (k; N) = 1 (1 - \frac{1}{N}) (1 - \frac{2}{N}) \dots (1 - \frac{k}{N}) .

$p(k;N) = 1\left(1-\frac{1}{N}\right)\left(1-\frac{2}{N}\right)\cdots\left(1-\frac{k}{N}\right).$

Logarit của nó có thể được tóm tắt không có triệu chứng với điều kiện nhỏ hơn nhiều so với : $k$ $N$

\begin{matrix} (1) & \log (p (k; N)) = - \frac{k (k + 1)}{2 N} - \frac{k + 3 k^{2} + 2 k^{3}}{12 N^{2}} - O (k^{4} N^{- 3}) . \end{matrix}

$\log(p(k;N)) = -\frac{k(k+1)}{2N} - \frac{k + 3k^2 + 2k^3}{12N^2} - O(k^4 N^{-3}).\tag{1}$

Để được tự tin rằng không nhỏ hơn một số giá trị , chúng ta cần lớn hơn . Nhỏ đảm bảo lớn hơn nhiều so với , vì vậy chúng ta có thể ước chừng chính xác là . Sản lượng này $100-100\alpha\%$ $N$ $N^{*}$ $(1)$ $\log(1-\alpha)$ $\alpha$ $N$ $k$ $(1)$ $-k^2/(2N)$

- \frac{k^{2}}{2 N} > \log (1 - α),

$-\frac{k^2}{2N} \gt \log(1-\alpha),$

ngụ ý

\begin{matrix} (2) & N > \frac{- k^{2}}{2 \log (1 - α)} \approx \frac{k^{2}}{2 α} = N^{*} \end{matrix}

$N \gt\frac{-k^2}{2\log(1-\alpha)} \approx \frac{k^2}{2\alpha}=N^{*}\tag{2}$

$\alpha$

$k=10^6-1$ $\alpha=0.05$ $95\%$ $(2)$ $N \gt 10^{13}$

$(2)$ $N=9.74786\times 10^{12}$ $N$ $p(10^6-1, 9.74786\times 10^{12})=95.0000\ldots\%$ $95\%$ $N$ $95\%$ $N$ $100 - 95= 5\%$ $N$

$4\%$ $k=6$ $5.6\%$ $k=7$ $N$ $360$ $490$ $366$ $k$ $\alpha$

— whuber
nguồn

Tôi đã không chuẩn bị để đưa ra một câu trả lời như thế này. Với các số gần đúng này có thể dễ dàng tính toán hơn. Wikipedia đưa ra vấn đề sinh nhật khái quát cho thấy các xấp xỉ và giới hạn trên N với k người (người ngoài hành tinh). Tôi đã có công thức tương tự như phương trình đầu tiên của bạn.

— Michael R. Chernick

Câu hỏi của tôi sẽ là N phải lớn đến mức nào để đạt được sự tự tin 100%. Tôi nghĩ nó giống như 10 ^ 18.

— Michael R. Chernick

@MichaelCécick Để tự tin 100% N đi vô tận. Đối với bất kỳ năm hữu hạn nào và đối với bất kỳ bên nào có từ 2 người ngoài hành tinh trở lên, xác suất hai người ngoài hành tinh có cùng ngày sinh luôn lớn hơn 0.

— Pere

@Pere Vâng, cảm ơn bạn đã nhìn thấy điều đó. Tôi sẽ sửa nó ngay. Nó không có sự khác biệt với phần còn lại của bài viết.

— whuber

@Paul Uszak Tôi nghĩ rằng nhận xét của bạn về câu trả lời của Pere (hiện đã bị xóa) quá khắc nghiệt. Tôi nghĩ rằng câu trả lời của ông đã được đưa ra trong đức tin tốt. Ông đã cố gắng để có ích cho bạn bằng cách cung cấp các xấp xỉ hữu ích. Sau đó, ông đã thấy câu trả lời của người đánh cá và quyết định rằng nó hoàn chỉnh hơn và đồng ý xóa câu trả lời của ông. Nhận xét của anh ấy về việc không mong đợi một câu trả lời chi tiết không có nghĩa là cách bạn diễn giải nó. Đây là một vấn đề khó khăn. Bạn thậm chí đã phải viết lại bài đăng để làm cho nó dễ hiểu. Tôi chắc chắn anh ấy không coi việc giải quyết vấn đề như thế này là một trò đùa.

— Michael R. Chernick