Làm thế nào là , tọa độ cực, được phân phối khi và khi ?

Đặt tọa độ Cartesian của một điểm ngẫu nhiên được chọn st .( x , y ) ~ U ( - 10 , 10 ) × U ( - 10 , 10 $x,y$$(x,y) \sim U(-10,10) \times U(-10,10)$

Do đó, bán kính, , không được phân phối đồng đều như ngụ ý của pdf của .$\rho = \sqrt{x^2 + y^2}$$\rho$

Tuy nhiên, tôi mong muốn gần như thống nhất, không bao gồm các tạo tác do 4 phần còn lại ở các cạnh:$\theta = \arctan{\frac{y}{x}}$

Sau đây là các hàm mật độ xác suất được tính toán cụ thể của và : $\theta$$\rho$

Bây giờ nếu tôi để được phân phối st thì dường như được phân phối đồng đều:x , y ~ N ( 0 , 20 2 ) × N ( 0 , 20 2 ) $x,y$$x,y \sim N(0,20^2)\times N(0,20^2)$$\theta$

Tại sao không đồng nhất khi và đồng nhất khi ?( x , y ) ∼ U ( - 10 , 10 ) × U ( - 10 , 10 ) x , y ∼ N ( 0 , 20 2 ) × N ( 0 , 20 2$\theta$$(x,y) \sim U(-10,10) \times U(-10,10)$$x,y \sim N(0,20^2)\times N(0,20^2)$

Mã Matlab tôi đã sử dụng:

number_of_points = 100000;
rng('shuffle')

a = -10;
b = 10;
r = (b-a).*randn(2,number_of_points);
r = reshape(r, [2,number_of_points]);
I = eye(2);
e1 = I(:,1); e2 = I(:,2);
theta = inf*ones(1,number_of_points);
rho = inf*ones(1,number_of_points);

for i=1:length(r(1,:))
    x = r(:,i);
    [theta(i),rho(i)] = cart2pol(x(1),x(2));        
end

figure
M=3;N=1; bins = 360;
subplot(M,N,1); 
histogram(rad2deg(theta), bins)
title('Polar angle coordinate p.d.f');

subplot(M,N,2); 
histogram(rho, bins);
title('Polar radius coordinate p.d.f');

subplot(M,N,3); 
histogram(r(:));
title('The x-y cooridnates distrbution (p.d.f)');

Thay thế dòng thứ 3: r = (b-a).*randn(2,number_of_points);với r = (b-a).*randn(2,number_of_points) +a ;sẽ thay đổi phân phối từ bình thường sang thống nhất.$(x,y)$

Bạn đang đề cập đến một sự chuyển đổi từ một cặp variates độc lập với đại diện cực ( R , θ ) (bán kính và góc), và sau đó nhìn vào sự phân bố biên của θ .$(X,Y)$$(R,\theta)$$\theta$

Tôi sẽ đưa ra một lời giải thích có phần trực quan (mặc dù một dẫn xuất toán học của mật độ thực chất là những gì tôi mô tả không chính thức).

Lưu ý rằng nếu bạn chia tỷ lệ hai biến, X và Y theo một tỷ lệ chung (ví dụ: đi từ U (-1,1) đến U (-10,10) hoặc từ N (0,1) đến N (0,20) trên cả hai biến cùng một lúc) không tạo ra sự khác biệt đối với phân bố góc (nó chỉ ảnh hưởng đến quy mô phân bố bán kính). Vì vậy, hãy xem xét các trường hợp đơn vị.

Trước tiên hãy xem xét những gì đang xảy ra với trường hợp đồng phục. Lưu ý rằng phân phối đồng đều trên ô vuông đơn vị, do đó mật độ xác suất trong một khu vực nằm trong tỷ lệ thuận với diện tích của khu vực. Cụ thể, hãy nhìn vào mật độ liên quan đến một yếu tố của góc, d θ gần ngang (gần góc θ = 0 ) và trên đường chéo (góc gần θ = π / 4 ):$[-1,1]^2$$d\theta$$\theta=0$$\theta=\pi/4$

Rõ ràng các yếu tố khả (tức là khu vực) tương ứng với một phần tử của góc ( d θ ) là lớn hơn khi góc gần một trong những đường chéo. Thực sự xem xét việc ghi một vòng tròn bên trong hình vuông; diện tích được kéo dài bởi một góc nhỏ nhất định trong vòng tròn là không đổi, và sau đó phần bên ngoài vòng tròn phát triển khi chúng ta tiếp cận đường chéo, nơi nó ở mức tối đa.$df_\theta$$d\theta$

Điều này hoàn toàn chiếm cho mô hình bạn nhìn thấy trong các mô phỏng.

Thật vậy, chúng ta có thể thấy rằng mật độ phải tỷ lệ thuận với chiều dài của đoạn từ tâm hình vuông đến cạnh của nó; lượng giác đơn giản là đủ để lấy được mật độ từ đó và sau đó dễ dàng tìm thấy hằng số cần thiết để làm cho mật độ tích hợp thành 1.

[Chỉnh sửa: đã thêm bit tiếp theo này để thảo luận về bán kính, vì câu hỏi đã thay đổi kể từ câu trả lời ban đầu của tôi.]

Lưu ý rằng nếu chúng ta có phân bố đồng đều trên vòng tròn đơn vị (nghĩa là chúng ta đã ghi trong hình vuông trước đó) thì mật độ của bán kính sẽ tỷ lệ với bán kính (xem xét diện tích của một phần tử hình khuyên nhỏ có chiều rộng tại bán kính r - tức là giữa r và r + d r - có diện tích tỷ lệ với r ). Sau đó, khi chúng ta vượt qua bên ngoài vòng tròn, vùng hình khuyên mới với bán kính lớn hơn chỉ nhận được những đóng góp tỷ trọng từ phần tại quảng trường, vì vậy mật độ giảm (ban đầu khá nhanh, sau đó chậm hơn) giữa 1 và $dr$$r$$r$$r+dr$$r$$1$ . (Một lần nữa, các khái niệm hình học khá đơn giản là đủ để có được dạng chức năng của mật độ nếu cần thiết.)$\sqrt 2$

Ngược lại, nếu phân phối chung đối xứng xoay quanh gốc tọa độ thì phần tử xác suất ở một góc nào đó không phụ thuộc vào góc (đây thực chất là một tautology!). Phân phối bivariate của hai Gaussian tiêu chuẩn độc lập đối xứng luân phiên về nguồn gốc:

(mã cho hình ảnh này dựa trên mã của Elan Cohen ở đây nhưng có một sự thay thế tốt đẹp ở đây và một cái gì đó giữa hai hình ở đây )

Do đó khối lượng chứa trong một số góc là như nhau cho mỗi θ , vì vậy mật độ kết hợp với góc là thống nhất trên [ 0 , 2 π ) .$d\theta$$\theta$$[0,2\pi)$

[Thủ thuật cực thường được sử dụng để tích hợp mật độ bình thường trên đường thẳng thực có thể được sử dụng để tìm ra rằng mật độ của bán kính bình phương là hàm mũ âm và từ đó mật độ của bán kính rất đơn giản để xác định bằng một đối số biến đổi đơn giản từ chức năng phân phối]

Tôi sẽ trả lời câu hỏi về trường hợp bình thường dẫn đến phân phối đồng phục. Người ta biết rằng nếu và Y độc lập và phân phối bình thường thì các đường viền của mật độ xác suất không đổi là một đường tròn trong mặt phẳng x - y . Bán kính R = $X$$Y$$x-y$ cóphân phối Rayleigh. Đối với một cuộc thảo luận tốt về điều này, bài viết trên wikipedia có tiêu đề phân phối Rayleigh.$R= \sqrt{X^2+ Y^2}$

Bây giờ chúng ta hãy xem xét các biến ngẫu nhiên và Y bằng tọa độ cực.$X$$Y$

, Y = r sin ( θ ) . lưu ý rằng X 2 + Y 2 = r 2 . Nếu θ là thống nhất trên ( 0 , 2 π ) và r có Rayleigh phân phối X và Y sẽ normals độc lập với mỗi 0 bình và phương sai chung. Các ngược lại cũng đúng. Bằng chứng về điều ngược lại là những gì tôi nghĩ OP muốn là câu trả lời cho phần thứ hai của câu hỏi.$X = r\cos(\theta)$$Y = r \sin(\theta)$$X^2 +Y^2= r^2$$\theta$$(0,2 \pi)$$r$$X$$Y$$0$

$X$$N(0,1)$$Y$$N(0,1)$

$f(x,y) = (1/2 \pi)\exp[(-[x^2 +y^2])/2]$$g(r, \theta)$$x = r \sin(\theta)$$y = r \cos(\theta)$$r= \sqrt{x^2 + y^2}$$\theta = \arctan(x/y)$$f(x,y)$$g(r, \theta)$$r \exp[(-r^2)/(2 \pi)]$$r\geq0$$0\leq\theta\leq 2 \pi$$r$$r$$1/(2 \pi)$

$\theta$$(X,Y)$$[-1,1]\times[-1,1]$$1 \over 4$$0$$1 \over 4$

Khu vực quan tâm cho câu hỏi của chúng tôi là khu vực màu đỏ trên bản vẽ này:

$\theta$$\theta + d\theta$$\theta$$\theta + d\theta$$\theta$

$\theta\in \left[ -{\pi \over 4}, {\pi\over 4}\right]$$\pi\over 2$

$1\over \cos\theta$

$a$$b$$\alpha$${1\over 2}ab\sin\alpha$

$\theta$

Xác minh:

x <- runif(1e6, -1, 1)
y <- runif(1e6, -1, 1)
hist( atan2(y,x), freq=FALSE, breaks=100)
theta <- seq(-pi, pi, length=500)
lines(theta, 0.125/cos((theta + pi/4)%%(pi/2) - pi/4)**2, col="red" )