Tại sao tạo 8 bit ngẫu nhiên đồng nhất trên (0, 255)?

Tôi đang tạo ra 8 bit ngẫu nhiên (0 hoặc 1) và ghép chúng lại với nhau để tạo thành một số 8 bit. Một mô phỏng Python đơn giản mang lại phân phối đồng đều trên tập rời rạc [0, 255].

Tôi đang cố gắng biện minh tại sao điều này có ý nghĩa trong đầu tôi. Nếu tôi so sánh điều này với việc lật 8 đồng xu, thì giá trị dự kiến ​​sẽ ở đâu đó quanh 4 đầu / 4 đuôi? Vì vậy, với tôi, nó có ý nghĩa rằng kết quả của tôi sẽ phản ánh một sự tăng đột biến ở giữa phạm vi. Nói cách khác, tại sao một chuỗi gồm 8 số 0 hoặc 8 số dường như có khả năng bằng nhau như một chuỗi 4 và 4, hoặc 5 và 3, v.v.? Tôi đang thiếu gì ở đây?

TL; DR: Sự tương phản rõ rệt giữa các bit và đồng xu là trong trường hợp của các đồng tiền, bạn đang bỏ qua thứ tự kết quả. HHHHTTTT được coi là giống như TTTTHHHH (cả hai đều có 4 đầu và 4 đuôi). Nhưng theo bit, bạn quan tâm đến thứ tự (vì bạn phải đưa ra "trọng số" cho các vị trí bit để có được 256 kết quả), vì vậy 11110000 khác với 00001111.

Giải thích dài hơn: Những khái niệm này có thể được thống nhất chính xác hơn nếu chúng ta chính thức hơn một chút trong việc đóng khung vấn đề. Hãy coi một thử nghiệm là một chuỗi gồm tám thử nghiệm với kết quả phân đôi và xác suất "thành công" 0,5 và "thất bại" 0,5, và các thử nghiệm là độc lập. Nói chung, tôi sẽ gọi đây là thành công, n tổng thử nghiệm và n - k thất bại và xác suất thành công là p .$k$$n$$n-k$$p$

• Trong ví dụ về đồng xu, kết quả " đầu, n - k đuôi" bỏ qua thứ tự của các thử nghiệm (4 đầu là 4 đầu bất kể thứ tự xảy ra) và điều này dẫn đến sự quan sát của bạn rằng 4 đầu có nhiều khả năng hơn 0 hoặc 8 đầu. Bốn đầu phổ biến hơn vì có nhiều cách để tạo bốn đầu (TTHHTTHH hoặc HHTTHHTT, v.v.) so với một số số khác (8 đầu chỉ có một chuỗi). Định lý nhị thức đưa ra số cách để tạo các cấu hình khác nhau này.$k$$n-k$

• Ngược lại, thứ tự là quan trọng đối với bit bởi vì mỗi nơi có một "trọng số" hoặc "giá trị địa điểm". Một tính chất của hệ số nhị thức là , đó là nếu chúng ta đếm tất cả các chuỗi được sắp xếp khác nhau, chúng ta sẽ nhận được28=256. Điều này trực tiếp kết nối ý tưởng của bao nhiêu cách khác nhau có làmkđứng đầu trongnthử nghiệm nhị thức với số chuỗi byte khác nhau.$2^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}$$2^8=256$$k$$n$

• Ngoài ra, chúng tôi có thể chỉ ra rằng 256 kết quả có khả năng tương đương với tài sản độc lập. Các thử nghiệm trước đây không ảnh hưởng đến thử nghiệm tiếp theo, do đó, xác suất của một đơn đặt hàng cụ thể là, nói chung, (vì xác suất chung của các sự kiện độc lập là sản phẩm của xác suất của chúng). Vì các thử nghiệm là công bằng, P ( thành công ) = P ( thất bại ) = p = 0,5 , biểu thức này giảm xuống P ( bất kỳ thứ tự nào ) = 0,5 8$p^k(1-p)^{n-k}$$P(\text{success})=P(\text{fail})=p=0.5$ . Bởi vì tất cả các thứ tự có cùng xác suất, chúng tôi có phân phối đồng đều trên các kết quả này (mà bằng mã hóa nhị phân có thể được biểu diễn dưới dạng số nguyên trong[0,255]).$P(\text{any ordering})=0.5^8=\frac{1}{256}$$[0,255]$

• Cuối cùng, chúng ta có thể đưa vòng tròn đầy đủ này trở lại phân phối tung đồng xu và nhị thức. Chúng ta biết rằng sự xuất hiện của 0 đầu không có xác suất giống như 4 đầu và điều này là do có nhiều cách khác nhau để sắp xếp các lần xuất hiện của 4 đầu và số thứ tự như vậy được đưa ra bởi định lý nhị thức. Vì vậy, phải được cân bằng cách nào đó, cụ thể nó phải được tính theo hệ số nhị thức. Vì vậy, điều này mang lại cho chúng ta PMF của phân phối nhị thức, P ( k  thành công ) = ($P(\text{4 heads})$. Có thể đáng ngạc nhiên rằng biểu thức này là một PMF, cụ thể là vì nó không rõ ràng ngay lập tức mà nó tổng hợp thành 1. Để xác minh, chúng tôi phải kiểm tra xem∑ n k = 0 ($P(k \text{ successes})=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$, tuy nhiên đây chỉ là vấn đề của các hệ số nhị thức:1=1n=(p+1-p)n=∑ n k = 0 ($\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}=1$.$1=1^n=(p+1-p)^n=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$

tại sao một chuỗi gồm 8 số 0 hoặc 8 số có vẻ giống nhau như một chuỗi 4 và 4, hoặc 5 và 3, v.v.

Nghịch lý aparent có thể được tóm tắt trong hai mệnh đề, điều này có vẻ mâu thuẫn:

1. Chuỗi (tám số không) có thể xảy ra như nhau$s_1: 00000000$ như như trình tự (bốn số không, bốn số không). (Nói chung: tất cả 2 8 chuỗi có cùng xác suất, bất kể số lượng 0 / số chúng có là bao nhiêu.)$s_2: 01010101$$2^8$

2. Sự kiện " : chuỗi có bốn số 0 " có xác suất cao hơn (thực tế, có khả năng cao gấp 70 lần) so với sự kiện " e 2 : chuỗi có tám số không ".$e_1$$70$$e_2$

Những mệnh đề này đều đúng. Bởi vì sự kiện bao gồm nhiều chuỗi.$e_1$

Tất cả các chuỗi có cùng xác suất 1/2 $2^8$$2^8$ = 1/256. Thật sai lầm khi nghĩ rằng các chuỗi gần với số 0 và 1 bằng nhau có nhiều khả năng vì câu hỏi được giải thích .. Cần phải rõ ràng rằng chúng tôi đến 1/256 vì chúng tôi cho rằng độc lập từ thử nghiệm sang thử nghiệm . Đó là lý do tại sao chúng tôi nhân các xác suất và kết quả của một thử nghiệm không có ảnh hưởng đến lần tiếp theo.

VÍ DỤ với 3 bit (thường là một ví dụ mang tính minh họa hơn)

Tôi sẽ viết các số tự nhiên từ 0 đến 7 là:

• Một số trong cơ sở 10
• Một số trong cơ sở 2 (tức là một chuỗi bit)
• Một loạt các đồng xu được ngụ ý bởi đại diện cơ sở 2 (1 biểu thị một lần lật đầu và 0 biểu thị một lần lật đuôi).

Chọn một số tự nhiên từ 0 đến 7 với xác suất bằng nhau tương đương với việc chọn một trong các chuỗi lật đồng xu ở bên phải với xác suất bằng nhau.

Do đó, nếu bạn chọn một số từ phân phối đồng đều trên các số nguyên 0-7, bạn có cơ hội chọn 3 đầu,$\frac{1}{8}$ cơ hội chọn 2 đầu,$\frac{3}{8}$ cơ hội chọn 1 đầu và$\frac{3}{8}$ cơ hội chọn 0 đầu.$\frac{1}{8}$

Câu trả lời của Sycorax là chính xác, nhưng có vẻ như bạn không hoàn toàn rõ ràng về lý do tại sao. Khi bạn lật 8 đồng xu hoặc tạo 8 bit ngẫu nhiên theo thứ tự, kết quả của bạn sẽ là một trong 256 khả năng có khả năng như nhau. Trong trường hợp của bạn, mỗi trong số 256 kết quả có thể này ánh xạ duy nhất đến một số nguyên, do đó bạn có được phân phối đồng đều như kết quả của mình.

Nếu bạn không tính đến thứ tự, chẳng hạn như xem xét số lượng đầu hoặc đuôi bạn nhận được, chỉ có 9 kết quả có thể xảy ra (0 Đầu / 8 Đuôi - 8 Đầu / 0 Đuôi) và chúng không còn có khả năng như nhau . Lý do cho điều này là do trong số 256 kết quả có thể xảy ra, có 1 tổ hợp lật cung cấp cho bạn 8 Đầu / 0 Đuôi (HHHHHHHH) và 8 kết hợp cung cấp 7 Đầu / 1 Đuôi (một Đuôi trong mỗi 8 vị trí trong thứ tự), nhưng 8C4 = 70 cách để có 4 Đầu và 4 Đuôi. Trong trường hợp lật đồng xu, mỗi trong số 70 kết hợp đó ánh xạ thành 4 Đầu / 4 Đuôi, nhưng trong bài toán số nhị phân, mỗi trong số 70 kết quả đó ánh xạ thành một số nguyên duy nhất.

The problem, restated, is: Why is the number of combinations of 8 random binary digits taken as 0 to 8 selected digits (e.g., the 1's) at a time different from the number of permutations of 8 random binary digits. In the context herein, random choice of 0's and 1's means that each digit is independent of any other, so that digits are uncorrelated and $p(0)=p(1)=\frac{1}{2}$; .

The answer is: There are two different encodings; 1) lossless encoding of permutations and 2) lossy encoding of combinations.

Ad 1) To lossless encode the numbers so that each sequence is unique we can view that number as being a binary integer $\sum_{i=1}^82^{i-1}{X_i}$, where ${X_i}$ are the left to right $i^{th}$ digits in the binary sequence of random 0's and 1's. What that does is make each permutation unique, as each random digit is then positional encoded. And the total number of permutations is then $2^8=256$. Then, coincidentally one can translate those binary digits into the base 10 numbers 0 to 255 without loss of uniqueness, or for that matter one can rewrite that number using any other lossless encoding (e.g. lossless compressed data, Hex, Octal). The question itself, however, is a binary one. Each permutation is then equally probable because there is then only one way each unique encoding sequence can be created, and we have assumed that the appearance of a 1 or a 0 is equally likely anywhere within that string, such that each permutation is equally probable.

Ad 2) When the lossless encoding is abandoned by only considering combinations, we then have a lossy encoding in which outcomes are combined and information is lost. We are then viewing the number series, w.l.o.g. as the number of 1's; $\sum_{i=1}^82^{0}{X_i}$, which in turn reduces to $C(8,\sum_{i=1}^8{X_i})$, the number of combinations of 8 objects taken $\sum_{i=1}^8{X_i}$ at at time, and for that different problem, the probability of exactly 4 1's is 70 ($C(8,4)$) times greater than obtaining 8 1's, because there are 70, equally likely permutations that can produce 4 1's.

Note: At the current time, the above answer is the only one containing an explicit computational comparison of the two encodings, and the only answer that even mentions the concept of encoding. It took a while to get it right, which is why this answer has been downvoted, historically. If there are any outstanding complaints, leave a comment.

Update: Since the last update, I am gratified to see that the concept of encoding has begun to catch on in the other answers. To show this explicitly for the current problem I have attached the number of permutations that are lossy encoded in each combination.

Note that the number of bytes of information lost during each combinatorial encoding is equivalent to the number of permutations for that combination minus one [$C(8,n)-1$, where $n$ is the number of 1's], i.e., for this problem, from $0$ to $69$ per combination, or $256-9=247$ overall.

I'd like to expand a little bit on the idea of order dependence vs. independence.

In the problem of calculating the expected number of heads from flipping 8 coins, we're summing the values from 8 identical distributions, each of which is the Bernoulli distribution [; B(1, 0.5) ;] (in other words, a 50% chance of 0, a 50% chance of 1). The distribution of the sum is the binomial distribution [; B(8, 0.5) ;], which has the familiar hump shape with most of the probability centered around 4.

In the problem of calculating the expected value of a byte made of 8 random bits, each bit has a different value that it contributes to the byte, so we're summing the values from 8 different distributions. The first is [; B(1, 0.5) ;], the second is [; 2 B(1, 0.5) ;], the third is [; 4 B(1, 0.5) ;] , so on up to the eighth which is [; 128 B(1, 0.5) ;]. The distribution of this sum is understandably quite different from the first one.

If you wanted to prove that this latter distribution is uniform, I think you could do it inductively — the distribution of the lowest bit is uniform with a range of 1 by assumption, so you would want to show that if the distribution of the lowest [; n ;] bits is uniform with a range of [; 2^n - 1} ;] then the addition of the [; n+1 ;]st bit makes the distribution of the lowest [; n + 1 ;] bits uniform with a range of [; 2^{n+1} - 1 ;], achieving a proof for all positive [; n ;]. But the intuitive way is probably the exact opposite. If you start at the high bit, and choose values one at a time down to the low bit, each bit divides the space of possible outcomes exactly in half, and each half is chosen with equal probability, so by the time you get to the bottom, each individual value must have had the same probability to be chosen.

If you do a binary search comparing each bit, then you need the same number of steps for each 8 bit number, from 0000 0000 to 1111 1111, they both have the length 8 bit. At each step in the binary search both sides have a 50/50 chance of occuring, so in the end, because every number has the same depth and the same probabilities, without any real choice, each number must have the same weight. Thus the distribution must be uniform, even when each individual bit is determined by coin flips.

However, the digitsum of the numbers isn't uniform and would be equal in distribution to tossing 8 coins.

There is only one sequence with eight zeros. There are seventy sequences with four zeros and four ones.

Therefore, while 0 has a probability of 0.39%, and 15 [00001111] also has a probability of 0.39%, and 23 [00010111] has a probability of 0.39%, etc., if you add up all seventy of the 0.39% probabilities you get 27.3%, which is the probability of having four ones. The probability of each individual four-and-four result does not have to be any higher than 0.39% for this to work.

Consider dice

Think about rolling a couple of dice, a common example of non-uniform distribution. For the sake of the math, imagine the dice are numbered from 0 to 5 instead of the traditional 1 to 6. The reason the distribution is not uniform is that you are looking at the sum of the dice rolls, where multiple combinations can yield the same total like {5, 0}, {0, 5}, {4, 1}, etc. all generating 5.

However, if you were to interpret the dice roll as a 2 digit random number in base 6, each possible combination of dice is unique. {5, 0} would be 50 (base 6) which would be 5*($6^1$) + 0*($6^0$) = 30 (base 10). {0, 5} would be 5 (base 6) which would be 5*($6^0$) = 5 (base 10). So you can see, there is a 1 to 1 mapping of possible dice rolls interpreted as numbers in base 6 versus a many to 1 mapping for the sum of the two dice each roll.

As both @Sycorax and @Blacksteel point out, this difference really boils down to the question of order.

Each bit you choose is independent from each other bit. If you consider for the first bit there is a

• 50% probability it will be 1

and

• 50% probability it will be 0.

This also applies to the second bit, third bit and so on so that you end up with so for each possible combination of bits to make your byte you have $(\frac{1}{2})^8$ = $\frac{1}{256}$ chance of that unique 8 bit integer occurring.