Làm thế nào là góc độ cao hình cầu phân phối khi

Theo dõi cách phối hợp cực,$\theta$, được phân phối khi $(x,y) \sim U(-1,1) \times U(-1,1)$ và nếu $(x,y) \sim N(0,1)\times N(0,1)$?

Giả định $(x,y,z) \sim U(-10,10) \times U(-10,10) \times U(-10,10)$ thế nào rồi $\theta$ và $\phi$ phân phối?

Rõ ràng là từ những câu trả lời tuyệt vời của câu hỏi trước đó $\theta$ trông như thế:

Nhưng tại sao $\phi$ không có khả năng tối đa tại $\phi = \pi/4$?

Nếu chúng ta chọn $x,y,z$ trong thời trang phân phối thông thường, chúng tôi nhận được 2 pdf này:

Có tên cho $\theta$ và $\phi$phân phối trong cả hai trường hợp? Đối với tôi nó giống như$\beta$phân phối trên khoảng$[-90,90]$.

Trong cuộc thảo luận của tôi ở đây tôi giả sử bạn $\theta$ thực sự là một kinh độ và $\phi$thực sự là một vĩ độ. Có lẽ các tọa độ hình cầu điển hình hơn sử dụng một góc từ cực bắc thay vì lên từ đường xích đạo và hoán đổi vai trò của hai biểu tượng từ đó - nhưng không có vấn đề gì để giải quyết theo cách đó, vì vậy tôi sẽ kiên quyết với điều gì ký hiệu của bạn dường như là.

Lưu ý rằng phân phối bán kính không được quan tâm ở đây, chỉ có các góc, vì vậy chúng tôi có thể chiếu mọi thứ lên một khối cầu mà không thay đổi các góc. Điều này khá hữu ích trong trường hợp bình thường.

Với phân bố đối xứng hình cầu như tiêu chuẩn ba chiều thông thường, sự xuất hiện của phân bố độ nghiêng có liên quan đến thực tế là có nhiều diện tích trên bề mặt của một hình cầu gần xích đạo hơn gần cực.

Nếu bạn theo dõi qua toán học (hoặc viết một đối số hình học theo các yếu tố xác suất tương tự như câu hỏi 2D trước đó), bạn có thể nhận thấy rằng độ nghiêng phải có mật độ tỷ lệ thuận với $\cos(\phi)$. Đây là một đối số hình học sẽ thúc đẩy nó theo thuật ngữ "các yếu tố xác suất":

Vì bán kính ở xích đạo là 1 và bán kính ở vĩ độ $\phi$ Là $\cos(\phi)$, chu vi ở vĩ độ $\phi$ tỷ lệ thuận với $\cos(\phi)$và mật độ tại $\phi$ tỷ lệ thuận với $\cos(\phi)$.

Vỏ đồng phục : Với đồng phục 3D được chuẩn hóa thành bán kính không đổi, bạn không có mật độ đồng nhất trên quả cầu vì lý do tương tự như chúng ta đã không làm trong trường hợp 2D - khi bạn chiếu lên quả cầu, sẽ có nhiều hơn thế " mật độ "trên quả cầu gần các góc nơi các góc nằm hơn các cạnh (với các phần gần giữa các cạnh nằm ở giữa) - bởi vì có nhiều thể tích của khối lập phương cho các góc gần với các góc hơn so với các góc gần giữa khuôn mặt.

Chúng ta có thể thấy điều này bằng cách tạo ra nhiều giá trị ngẫu nhiên đồng nhất trong khối và chiếu chúng lên quả cầu. Vì có nhiều âm lượng gần các góc hơn là gần các mặt của khối lập phương, nên mật độ nhìn từ "vào trong" nhiều hơn so với các mặt. Nếu chúng ta vẽ chiều cao (nhớ lại đây là giá trị dự kiến-z,$z^* = z/r$, Ở đâu $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$) phía trên đường xích đạo so với kinh độ, chúng ta có được âm mưu hàng đầu bên dưới:

Chiều cao đó tương ứng với cạnh dọc của tam giác vuông trong sơ đồ trước; chiều cao đó là$\sin$ của $\phi$ ($z^*=\sin(\phi)$). Để chuyển đổi nó thành vĩ độ ($\phi$), chúng ta sẽ lấy arcsin của chiều cao dự kiến ​​đó, đó là những gì chúng ta thấy trong cốt truyện thấp hơn. Điều này "kéo dài" mọi thứ càng gần cực hơn, làm cho mật độ như là một hàm của vĩ độ giảm xuống 0 ở cực bắc và cực nam (cho cả đồng phục và cho trường hợp bình thường).

Mật độ cho $\phi$ sau đó sẽ là tích phân của mật độ bivariate đó $\theta$.

Nhìn vào lề cho $\theta$ (tức là các dải chạy xuống ở các giá trị cố định của $\theta$) làm cho bốn đỉnh trong mật độ của $\theta$ như bạn lưu ý - thực sự điều này diễn ra trực tiếp từ trường hợp 2D, nhưng như chúng ta thấy bây giờ, nó cũng tạo ra một cặp đỉnh trong mật độ $\phi$ cách xa đường xích đạo, tương ứng với một vùng trên bề mặt của khối cầu đơn vị nơi các góc và cạnh trên / dưới của dự án khối.

Phân phối tích lũy bổ sung cho vĩ độ hình cầu $\phi$ tạo cơ hội cho một điểm ngẫu nhiên trong khối lập phương $[-1,1]^3$ sẽ nằm phía trên hình nón vẽ đồ thị của hàm $z = \cot(\phi)\sqrt{x^2+y^2}$. Bởi vì những điểm này được phân bố đồng đều trong toàn bộ khối lập phương (có thể tích$8$), cơ hội này là một phần tám âm lượng giữa hình nón và đỉnh của khối lập phương. Khi vĩ độ vượt quá$\pi/4$, khối lượng này là của một hình nón bên phải có chiều cao $1$ và cơ sở $\cot(\phi)$, tương đương với

Xem hai ô bên phải trong hình.

Khi vĩ độ nhỏ hơn $\arctan(1/\sqrt{2})$, đây là thể tích giao điểm của một hình nón bán vô hạn và khối lập phương. Một tích hợp trong tọa độ cực cho biểu thức

Xem hai ô ngoài cùng bên trái trong hình.

Các đạo hàm âm của các biểu thức này cho mật độ. Giữa$\arctan(1/\sqrt{2})\approx \pi/5$ và $\pi/4$là một khu vực chuyển tiếp trong đó giao điểm của hình nón với khối lập phương phức tạp. Mặc dù một biểu thức chính xác có thể được phát triển, nó sẽ rất lộn xộn. Những gì chúng ta biết là mật độ phải thay đổi liên tục từ đạo hàm của$-F_{-}$ dẫn xuất của $-F_{+}$ như $\phi$khác nhau giữa các điểm. Điều này được thể hiện trong biểu đồ của một triệu giá trị mô phỏng (chỉ từ nửa trên của khối lập phương - nửa dưới sẽ là hình ảnh phản chiếu). Đường cong vàng là đồ thị của$-\frac{d}{d\phi}F_{-}$ trong khi đường cong màu đỏ ở bên phải là đồ thị của $-\frac{d}{d\phi}F_{+}.$

Điều này làm rõ lý do tại sao các chế độ không tại $\phi=\pm \pi/4$, nhưng phải nằm giữa các giá trị này và $\pm \arctan(1/\sqrt{2})$.