Làm thế nào để 'tổng' một độ lệch chuẩn?

Tôi có trung bình hàng tháng cho một giá trị và độ lệch chuẩn tương ứng với mức trung bình đó. Bây giờ tôi đang tính trung bình hàng năm là tổng trung bình hàng tháng, làm thế nào tôi có thể biểu thị độ lệch chuẩn cho trung bình tổng?

Ví dụ: xem xét đầu ra từ một trang trại gió:

Month        MWh     StdDev
January      927     333 
February     1234    250
March        1032    301
April        876     204
May          865     165
June         750     263
July         780     280
August       690     98
September    730     76
October      821     240
November     803     178
December     850     250

Chúng ta có thể nói rằng trong năm trung bình, trang trại gió tạo ra 10.358 MWh, nhưng độ lệch chuẩn tương ứng với con số này là gì?

Câu trả lời ngắn: Bạn trung bình các phương sai ; sau đó bạn có thể lấy căn bậc hai để có độ lệch chuẩn trung bình .

Thí dụ

Month          MWh  StdDev  Variance
==========   =====  ======  ========
January        927    333     110889
February      1234    250      62500
March         1032    301      90601
April          876    204      41616
May            865    165      27225
June           750    263      69169
July           780    280      78400
August         690     98       9604
September      730     76       5776
October        821    240      57600
November       803    178      31684
December       850    250      62500
===========  =====  =======  =======
Total        10358            647564
÷12            863    232      53964

Và sau đó độ lệch chuẩn trung bình làsqrt(53,964) = 232

Từ tổng các biến ngẫu nhiên thường được phân phối :

$X$$Y$

... Tổng của hai biến ngẫu nhiên phân phối thông thường độc lập là bình thường, với ý nghĩa của nó là tổng của hai phương tiện và phương sai của nó là tổng của hai phương sai

Và từ phân phối tổng bình thường của Wolfram Alpha :

$X$$Y$$(\mu_X,\sigma_X^2)$$(\mu_Y,\sigma_Y^2)$

$$P_{X+Y}(u) = \frac{1}{\sqrt{2\pi (\sigma_X^2 + \sigma_Y^2)}} e^{-[u-(\mu_X+\mu_Y)]^2/[2(\sigma_X^2 + \sigma_Y^2)]}$$

có nghĩa là

$$\mu_{X+Y} = \mu_X+\mu_Y$$

và phương sai

$$\sigma_{X+Y}^2 = \sigma_X^2 + \sigma_Y^2$$

Đối với dữ liệu của bạn:

• tổng hợp: 10,358 MWh
• phương sai: 647,564
• độ lệch chuẩn: 804.71 ( sqrt(647564) )

Để trả lời câu hỏi của bạn:

• Làm thế nào để 'tổng' một độ lệch chuẩn ?

• Bạn tính tổng chúng theo phương trình bậc hai:

  s = sqrt(s1^2 + s2^2 + ... + s12^2)
  

Về mặt khái niệm, bạn tổng hợp các phương sai, sau đó lấy căn bậc hai để có độ lệch chuẩn.

Bởi vì tôi tò mò, tôi muốn biết tỷ lệ trung bình hàng tháng trung bình điện, và nó lệch chuẩn . Thông qua quy nạp, chúng ta cần 12 phân phối bình thường:

• tổng cho một trung bình của 10,358
• tổng bằng phương sai của 647,564

Đó sẽ là 12 phân phối trung bình hàng tháng của:

• có nghĩa là 10,358/12 = 863.16
• phương sai của 647,564/12 = 53,963.6
• độ lệch chuẩn của sqrt(53963.6) = 232.3

Chúng tôi có thể kiểm tra phân phối trung bình hàng tháng của mình bằng cách thêm chúng lên 12 lần, để thấy rằng chúng bằng với phân phối hàng năm:

• Nghĩa là: 863.16*12 = 10358 = 10,358( đúng )
• Phương sai: 53963.6*12 = 647564 = 647,564( đúng )

Lưu ý : tôi sẽ để nó cho một người có kiến ​​thức về toán học bí truyền để chuyển đổi hình ảnh công thức của tôi và formula codethành các công thức được định dạng stackexchange.

Chỉnh sửa : Tôi di chuyển ngắn, đến điểm, trả lời lên trên. Bởi vì tôi cần phải làm điều này một lần nữa ngày hôm nay, nhưng muốn kiểm tra lại xem tôi có trung bình các phương sai không .

Đây là một câu hỏi cũ nhưng câu trả lời được chấp nhận không thực sự chính xác hoặc đầy đủ. Người dùng muốn tính độ lệch chuẩn trên dữ liệu 12 tháng trong đó độ lệch trung bình và độ lệch chuẩn đã được tính qua mỗi tháng. Giả sử rằng số lượng mẫu trong mỗi tháng là như nhau, thì có thể tính trung bình và phương sai mẫu trong năm từ dữ liệu của mỗi tháng. Để đơn giản, giả sử rằng chúng ta có hai bộ dữ liệu:

$X=\{x_1,....x_N\}$

$Y=\{y_1,....,y_N\}$

$\mu_x$$\mu_y$$\sigma^2_x$$\sigma^2_y$

Bây giờ chúng tôi muốn tính toán các ước tính tương tự cho

$Z=\{x_1,....,x_N, y_1,...,y_N\}$

$\mu_x$$\sigma^2_x$

$\mu_x = \frac{\sum^N_{i=1} x_i}{N}$

$\sigma^2_x = \frac{\sum^N_{i=1} x^2_i}{N}-\mu^2_x$

Để ước tính giá trị trung bình và phương sai trên tổng số chúng ta cần tính toán:

$\mu_z = \frac{\sum^N_{i=1} x_i +\sum^N_{i=1} y_i }{2N}= (\mu_x+\mu_y)/2$

$\sigma^2_z = \frac{\sum^N_{i=1} x^2_i +\sum^N_{i=1} y^2_i }{2N}-\mu^2_z$

$\sigma^2_z = \frac{1 }{2}(\frac{\sum^N_{i=1} x^2_i}{N}-\mu^2_x + \frac{\sum^N_{i=1} y^2_i}{N}-\mu^2_y )+\frac{1 }{2}(\mu^2_x+\mu^2_y) -(\frac{\mu_x+\mu_y}{2})^2$

$\sigma^2_z = \frac{1 }{2}(\sigma^2_x+\sigma^2_y )+(\frac{\mu_x-\mu_y}{2})^2$

Vì vậy, nếu bạn có phương sai trên mỗi tập hợp con và bạn muốn phương sai trên toàn bộ thì bạn có thể tính trung bình phương sai của mỗi tập hợp con nếu tất cả chúng đều có cùng một giá trị. Mặt khác, bạn cần thêm phương sai trung bình của mỗi tập hợp con.

Giả sử trong nửa đầu năm chúng tôi sản xuất chính xác 1000 MWh mỗi ngày và trong nửa giây, chúng tôi sản xuất 2000 MWh mỗi ngày. Sau đó, giá trị trung bình và phương sai của sản xuất năng lượng trong nửa đầu và giây là 1000 và 2000 cho trung bình và phương sai là 0 cho cả hai nửa. Bây giờ có hai điều khác nhau mà chúng ta có thể quan tâm:

1- Chúng tôi muốn tính toán phương sai của sản xuất năng lượng trong cả năm : sau đó bằng cách tính trung bình hai phương sai chúng tôi đạt đến 0, điều này không đúng vì năng lượng mỗi ngày trong cả năm không phải là hằng số. Trong trường hợp này, chúng ta cần thêm phương sai của tất cả các phương tiện từ mỗi tập hợp con. Về mặt toán học trong trường hợp này, biến quan tâm ngẫu nhiên là sản xuất năng lượng mỗi ngày. Chúng tôi có số liệu thống kê mẫu trên các tập hợp con và chúng tôi muốn tính toán số liệu thống kê mẫu trong một thời gian dài hơn.

2- Chúng tôi muốn tính toán phương sai của sản xuất năng lượng mỗi năm: Nói cách khác, chúng tôi quan tâm đến việc sản xuất năng lượng thay đổi từ năm này sang năm khác. Trong trường hợp này, trung bình phương sai dẫn đến câu trả lời đúng là 0, vì mỗi năm chúng tôi sản xuất trung bình 1500 MHW. Về mặt toán học trong trường hợp này, biến quan tâm ngẫu nhiên là trung bình của sản xuất năng lượng mỗi ngày trong đó việc tính trung bình được thực hiện trong cả năm.

Tôi tin rằng những gì bạn có thể thực sự quan tâm mặc dù là lỗi tiêu chuẩn hơn là độ lệch chuẩn.

Lỗi tiêu chuẩn của giá trị trung bình (SEM) là độ lệch chuẩn của ước tính trung bình mẫu của trung bình dân số và điều đó sẽ cho bạn biết mức độ ước tính MWh hàng năm của bạn tốt như thế nào.

$n$

Tôi muốn nhấn mạnh một lần nữa tính không chính xác trong một phần của câu trả lời được chấp nhận. Các từ ngữ của câu hỏi dẫn đến nhầm lẫn.

Câu hỏi có Average và StdDev mỗi tháng, nhưng không rõ loại tập hợp con nào được sử dụng. Đây có phải là trung bình của 1 tuabin gió của toàn bộ trang trại hoặc trung bình hàng ngày của toàn bộ trang trại không? Nếu đó là trung bình hàng ngày cho mỗi tháng, bạn không thể cộng trung bình hàng tháng để lấy trung bình hàng năm vì chúng không có cùng mẫu số. Nếu đó là trung bình đơn vị, câu hỏi nên nêu

Chúng ta có thể nói rằng trong một năm trung bình, mỗi tuabin trong trang trại gió tạo ra 10.358 MWh, ...

Thay vì

Chúng ta có thể nói rằng trong một năm trung bình, trang trại gió tạo ra 10.358 MWh, ...

Hơn nữa, Độ lệch chuẩn hoặc phương sai là so sánh với mức trung bình của chính tập hợp. Nó KHÔNG chứa bất kỳ thông tin nào liên quan đến mức trung bình của toàn bộ.

Hình ảnh không cần thiết rất chính xác nhưng nó truyền tải ý tưởng chung. Hãy tưởng tượng đầu ra của 1 trang trại gió như trong ảnh. Như bạn có thể thấy, phương sai "cục bộ" không liên quan gì đến phương sai "toàn cầu", bất kể bạn thêm hay nhân các số đó như thế nào. Bạn không thể dự đoán phương sai của năm bằng phương sai 2 năm rưỡi. Vì vậy, trong câu trả lời được chấp nhận, trong khi phép tính tổng là chính xác, phép chia cho 12 để lấy số hàng tháng có nghĩa là không có gì. . Trong ba phần, phần đầu tiên và phần cuối cùng là sai, phần thứ hai là đúng.

Một lần nữa, đó là ứng dụng rất sai, xin vui lòng không làm theo nó hoặc nó sẽ khiến bạn gặp rắc rối. Chỉ cần tính toán cho toàn bộ, sử dụng tổng sản lượng hàng năm / hàng tháng của mỗi đơn vị làm điểm dữ liệu tùy thuộc vào việc bạn muốn số hàng năm hay hàng tháng, đó sẽ là câu trả lời chính xác. Bạn có thể muốn một cái gì đó như thế này. Đây là số được tạo ngẫu nhiên của tôi. Nếu bạn có dữ liệu, kết quả trong ô O2 sẽ là câu trả lời của bạn.