Tạo các số ngẫu nhiên từ phân phối đồng phục dốc dốc của Wap từ lý thuyết toán học

Đối với một số mục đích, tôi cần tạo số ngẫu nhiên (dữ liệu) từ phân phối "đồng phục dốc". "Độ dốc" của phân phối này có thể thay đổi trong một số khoảng thời gian hợp lý, và sau đó phân phối của tôi sẽ thay đổi từ đồng nhất sang tam giác dựa trên độ dốc. Đây là dẫn xuất của tôi:

Hãy làm cho nó đơn giản và tạo dữ liệu từ đến (màu xanh, đỏ là phân phối đồng đều). Để có được hàm mật độ xác suất của đường màu xanh, tôi chỉ cần phương trình của đường đó. Như vậy:$0$$B$

$$f(x) = tg(\varphi)x + Y(0)$$

và kể từ (hình):

$$\begin{align} tg(\varphi) &= \frac{1/B - Y(0)}{B/2} \\[5pt] Y(0) &= \frac{1}{B} - tg(\varphi)\frac{B}{2} \end{align}$$

Chúng tôi có điều đó:

$$f(x) = tg(\varphi)x + \left(\frac{1}{B} - tg(\varphi)\frac{B}{2} \right)$$

Vì là PDF, CDF bằng:$f(x)$

$$F(x) = \frac{tg(\varphi)x^2}{2} + x\left(\frac{1}{B} - tg(\varphi)\frac{B}{2} \right)$$

Bây giờ hãy tạo một trình tạo dữ liệu. Ý tưởng là, nếu tôi sửa , các số ngẫu nhiên có thể được tính nếu tôi nhận được các số từ từ một phân phối thống nhất như được mô tả ở đây . Do đó, nếu tôi cần 100 số ngẫu nhiên từ phân phối của mình với cố định , thì với bất kỳ nào từ phân phối đồng đều có từ "phân phối dốc" và có thể được tính là:$\varphi, B$$x$$(0,1)$$\varphi, B$$t_i$$(0,1)$$x_i$$x$

$$\frac{tg(\varphi)x_i^2}{2} + x_i\left(\frac{1}{B} - tg(\varphi)\frac{B}{2} \right) - t_i = 0$$

Từ lý thuyết này, tôi đã tạo mã bằng Python trông như sau:

import numpy as np
import math
import random
def tan_choice():
    x = random.uniform(-math.pi/3, math.pi/3)
    tan = math.tan(x)
    return tan

def rand_shape_unif(N, B, tg_fi):
    res = []
    n = 0
    while N > n:
        c = random.uniform(0,1)
        a = tg_fi/2
        b = 1/B - (tg_fi*B)/2
        quadratic = np.poly1d([a,b,-c])
        rots = quadratic.roots
        rot = rots[(rots.imag == 0) & (rots.real >= 0) & (rots.real <= B)].real
        rot = float(rot)
        res.append(rot)
        n += 1
    return res

def rand_numb(N_, B_):
    tan_ = tan_choice()
    res = rand_shape_unif(N_, B_, tan_)
    return res

Nhưng các số được tạo từ rand_numbrất gần với 0 hoặc B (mà tôi đặt là 25). Không có phương sai, khi tôi tạo ra 100 số, tất cả chúng đều gần 25 hoặc tất cả đều gần bằng không. Trong một lần chạy:

num = rand_numb(100, 25)
numb
Out[140]: 
[0.1063241766836174,
 0.011086243095907753,
 0.05690217839063588,
 0.08551031241199764,
 0.03411227661295121,
 0.10927087752739746,
 0.1173334720516189,
 0.14160616846114774,
 0.020124543145515768,
 0.10794924067959207]

Vì vậy, phải có một cái gì đó rất sai trong mã của tôi. Bất cứ ai có thể giúp tôi với đạo hàm hoặc mã của tôi? Tôi điên về điều này bây giờ, tôi không thể thấy bất kỳ sai lầm. Tôi cho rằng mã R sẽ cho tôi kết quả tương tự.

Dẫn xuất của bạn là ok. Lưu ý rằng để có được mật độ dương trên , bạn phải ràng buộc Trong mã của bạn do đó bạn nên lấy giữa , đó là nơi mã của bạn thất bại.$(0,B)$

$$B^2 \tan\phi < 2.$$ $B = 25$$\phi$$\pm\tan^{-1}{2\over 625}$

Bạn có thể (và nên) tránh sử dụng một giải bậc hai, và sau đó chọn rễ giữa 0 và . Phương trình đa thức bậc hai theo cần giải là với Bằng cách xây dựng và ; cũng tăng trên .$B$$x$

$$F(x) = t$$ $$F(x) = {1\over 2} \tan \phi \cdot x^2 + \left( {1\over B} - {B\over 2} \tan \phi \right) x.$$ $F(0) = 0$$F(B) = 1$$F$$(0,B)$

Từ đó, dễ dàng nhận thấy rằng nếu , phần parabola mà chúng ta quan tâm là một phần bên phải của parabola và phần gốc phải giữ là phần cao nhất trong hai gốc, đó là là Ngược lại, nếu , parabola bị lộn ngược và chúng tôi quan tâm đến bên trái của nó phần. Các gốc để giữ là thấp nhất. Có tính đến dấu hiệu của có vẻ như đây là cùng một gốc (tức là cái có ) so với trường hợp đầu tiên.$\tan \phi > 0$

$$x = {1\over \tan \phi} \left( {B\over 2} \tan \phi - {1\over B} + \sqrt{ \left( {B\over 2} \tan \phi - {1\over B} \right)^2 + 2 \tan \phi \cdot t}. \right)$$ $\tan\phi < 0$$\tan\phi$$+\sqrt\Delta$

Đây là một số mã R.

phi <- pi/8; B <- 2
f <- function(t) (-(1/B - 0.5*B*tan(phi)) + 
       sqrt( (1/B - 0.5*B*tan(phi))**2 + 2 * tan(phi) * t))/tan(phi)
hist(f(runif(1e6)))

Và với :$\phi < 0$

phi <- -pi/8
hist(f(runif(1e6)))