Làm thế nào để tìm xác suất của những ngày chủ nhật thêm trong một năm nhuận?

Cơ hội mà một năm nhuận sẽ có 53 chủ nhật là gì?

Theo thử nghiệm của tôi, nó sẽ là 2/7? Vì 365 ngày trong một năm nhuận có nghĩa là 52 tuần và 2 ngày nữa, nên từ hai ngày nữa, xác suất của Chủ nhật là 2/7.

PS: Đây là một câu hỏi tôi tìm thấy trong một cuốn sách thống kê cơ bản.

Lịch Gregorian ủng hộ năm trong bảy ngày trong tuần trong những năm nhuận. Do đó cơ hội không chính xác là .$2/7$

Đây thực chất là vấn đề B3 trong Cuộc thi Toán học Putnam năm 1950 :

$n$ được chọn ngẫu nhiên từ các số tự nhiên. Cho thấy xác suất ngày 25 tháng 12 năm là thứ Tư không phải là 1/7.$n$

Trong Lịch Gregorian , số năm là bội số của là năm nhuận (với ngày), nhưng số năm là bội số của không phải là năm nhuận (và do đó có ngày), ngoại trừ số năm là bội số của là năm nhuận. (Nhiều người trong chúng ta nhớ ngoại lệ gần đây nhất vào ) Điều này tạo ra chu kỳ năm chứa năm nhuận.$4$$7\times 52 + 2=366$$100$$7\times 52+1=365$$400$$2000$$400$$400/4 - 400/100 + 400/400 = 97$

Điều đặc biệt thú vị là tổng số ngày trong chu kỳ này là một bội số của bảy:

Điều này cho thấy chu kỳ năm bao gồm toàn bộ số tuần. Do đó, mô hình các ngày trong tuần hoàn toàn giống nhau từ chu kỳ này sang chu kỳ tiếp theo.$400$

Do đó, chúng tôi có thể giải thích câu hỏi là yêu cầu cơ hội của Chủ nhật khi lấy mẫu ngẫu nhiên và thống nhất từ ​​bất kỳ chu kỳ năm nào của năm nhuận. Một tính toán vũ phu (sử dụng, giả sử, thực tế là ngày 1 tháng 1 năm 2001, là thứ Hai) cho thấy trong số năm nhuận trong mỗi chu kỳ có Chủ nhật. Vì vậy, cơ hội là400 28 97 $53$$400$$28$$97$$53$

Lưu ý rằng điều này không bằng : nó lớn hơn một chút. Ngẫu nhiên, có cùng một cơ hội của Thứ Tư, Thứ Sáu, Thứ Bảy hoặc Thứ Hai và chỉ có cơ hội của Thứ Ba hoặc Thứ Năm.$28/98 = 2/7$$53$$27/97$$53$

Đối với những người muốn thực hiện các phép tính chi tiết hơn (và có thể không tin tưởng bất kỳ sự đơn giản hóa toán học nào), đây là mã vũ phu tính toán và kiểm tra từng ngày trong tuần trong một năm nhất định. Cuối cùng, nó hiển thị số năm với lần xuất hiện mỗi ngày trong tuần. Nó được viết bằng . $53$R

Đây là đầu ra của nó cho chu kỳ :$2001-2400$

Friday    Monday  Saturday    Sunday  Thursday   Tuesday Wednesday 
    28        28        28        28        27        27        28 

Đây là mã chính nó.

leapyear <- function(y) {
  (y %% 4 == 0 & !(y%% 100 == 0)) | (y %% 400 == 0)
}
leapyears <- seq(2001, length.out=400)
leapyears <- leapyears[leapyear(leapyears)]
results <- sapply(leapyears, function(y) {
  table(weekdays(seq.Date(as.Date(paste0(y, "-01-01")), by="1 day", length.out=366)))
})
rowSums(results==53)

Vâng, lý luận của bạn là chính xác. Về lâu dài, năm nhuận gần như có khả năng bắt đầu vào bất kỳ ngày nào trong tuần. Vì vậy, cơ hội của 2 ngày thêm bao gồm cả Chủ nhật là khoảng 2/7.

w huber chỉ ra rằng một sự châm biếm của Lịch Gregorian khiến ngày bắt đầu của một năm nhuận không được phân phối đồng đều, do đó xác suất thực sự của 53 Chủ nhật là 1% hoặc lớn hơn 2/7. Tuy nhiên, 2/7 gần như chắc chắn là câu trả lời mà các tác giả của sách giáo khoa thống kê của bạn dự định tìm.