Làm thế nào để tính khoảng tin cậy cho các tỷ lệ?

Hãy xem xét một thử nghiệm đưa ra tỷ lệ $X_i$ trong khoảng từ 0 đến 1. Làm thế nào để đạt được tỷ lệ này không phù hợp trong bối cảnh này. Nó đã được xây dựng trong phiên bản trước của câu hỏi này , nhưng đã bị xóa cho rõ ràng sau một cuộc thảo luận về meta .

Thí nghiệm này được lặp lại $n$ lần, trong khi $n$ nhỏ (khoảng 3-10). Các $X_i$ được giả định là độc lập và phân phối giống nhau. Từ những điều này, chúng tôi ước tính giá trị trung bình bằng cách tính trung bình $\overline X$ , nhưng làm thế nào để tính khoảng tin cậy tương ứng $[U,V]$ ?

Khi sử dụng phương pháp tiêu chuẩn để tính khoảng tin cậy, $V$ đôi khi lớn hơn 1. Tuy nhiên, trực giác của tôi là khoảng tin cậy chính xác ...

1. ... nên nằm trong phạm vi 0 và 1
2. ... nên nhỏ hơn khi tăng $n$
3. ... đại khái là theo thứ tự được tính toán bằng cách sử dụng phương pháp tiêu chuẩn
4. ... được tính theo phương pháp toán học

Đây không phải là những yêu cầu tuyệt đối, nhưng ít nhất tôi muốn hiểu tại sao trực giác của tôi sai.

Tính toán dựa trên câu trả lời hiện có

Sau đây, các khoảng tin cậy do các câu trả lời hiện có được so sánh với .$\{X_i\} = \{0.985,0.986,0.935,0.890,0.999\}$

Phương pháp tiếp cận tiêu chuẩn (còn gọi là "Toán học")

, σ 2 = 0,0204 , do đó khoảng tin cậy 99% là [ 0,865 , 1,053 ] . Điều này mâu thuẫn với trực giác 1.$\overline X = 0.959$$\sigma^2 = 0.0204$$[0.865,1.053]$

Cắt xén (được đề xuất bởi @soakley trong các bình luận)

Chỉ cần sử dụng phương pháp tiêu chuẩn sau đó cung cấp là kết quả rất dễ thực hiện. Nhưng chúng ta có được phép làm điều đó không? Tôi chưa tin rằng ranh giới dưới chỉ không đổi (-> 4.)$[0.865,1.000]$

Mô hình hồi quy logistic (được đề xuất bởi @Rose Hartman)

Dữ liệu được chuyển đổi: Kết quả là $\{4.18,4.25,2.09,2.66,6.90\}$ , chuyển đổi lại kết quả trong [ 0,543 , 0,999 ] . Rõ ràng, 6,90 là một ngoại lệ đối với dữ liệu được chuyển đổi trong khi 0,99 không dành cho dữ liệu chưa được xử lý, dẫn đến khoảng tin cậy làrấtlớn. (-> 3.)$[0.173,7.87]$$[0.543,0.999]$

Khoảng tin cậy tỷ lệ nhị thức (được đề xuất bởi @Tim)

Cách tiếp cận có vẻ khá tốt, nhưng tiếc là nó không phù hợp với thí nghiệm. Chỉ cần kết hợp các kết quả và diễn giải nó như một thử nghiệm Bernoulli lặp đi lặp lại lớn như được đề xuất bởi @ZahavaKor sẽ cho kết quả như sau:

trên tổng số 5 ∗ 1000 . Cho ăn này vào Adj. Máy tính Wald cho$985+986+890+935+999 = 4795$$5*1000$ . Đây dường như không phải thực tế, bởi vì không phải là một đơn X i là bên trong khoảng thời gian đó! (-> 3.)$[0.9511,0.9657]$$X_i$

Bootstrapping (được đề xuất bởi @soakley)

Với ta có 3125 hoán vị có thể. Lấy $n=5$có nghĩa là trung bình của hoán vị, chúng ta nhận được[0,91,0,99]. Ngoại hình khôngcóxấu, mặc dù tôi mong chờ một khoảng lớn hơn (-> 3.). Tuy nhiên, mỗi công trình không bao giờ lớn hơn[min(Xi),max($\frac{3093}{3125} = 0.99$$[0.91,0.99]$ . Do đó, đối với một mẫu nhỏ, nó sẽ phát triển hơn là co lại để tăng n (-> 2.). Đây là ít nhất những gì xảy ra với các mẫu được đưa ra ở trên.$[min(X_i),max(X_i)]$$n$

Trước tiên, để làm rõ, những gì bạn đang giải quyết không hoàn toàn là phân phối nhị thức, như câu hỏi của bạn cho thấy (bạn gọi nó là một thử nghiệm Bernoulli). Phân phối nhị thức là rời rạc --- kết quả là thành công hoặc thất bại. Kết quả của bạn là một tỷ lệ mỗi khi bạn chạy thử nghiệm , không phải là một tập hợp thành công và thất bại mà sau đó bạn tính một tỷ lệ tóm tắt. Do đó, các phương pháp tính khoảng tin cậy tỷ lệ nhị thức sẽ loại bỏ rất nhiều thông tin của bạn. Nhưng bạn vẫn đúng rằng việc xử lý vấn đề này như thể nó được phân phối bình thường vì bạn có thể nhận được một CI vượt quá phạm vi có thể của biến.

Tôi khuyên bạn nên suy nghĩ về điều này về mặt hồi quy logistic. Chạy mô hình hồi quy logistic với biến tỷ lệ của bạn là kết quả và không có dự đoán. Việc chặn và CI của nó sẽ cung cấp cho bạn những gì bạn cần trong các bản ghi, và sau đó bạn có thể chuyển đổi nó trở lại tỷ lệ. Bạn cũng có thể tự mình thực hiện chuyển đổi logistic, tính toán CI và sau đó chuyển đổi trở lại quy mô ban đầu. Con trăn của tôi rất tệ, nhưng đây là cách bạn có thể làm điều đó trong R:

set.seed(24601)
data <- rbeta(100, 10, 3)
hist(data)

data_logits <- log(data/(1-data)) 
hist(data_logits)

# calculate CI for the transformed data
mean_logits <- mean(data_logits)
sd <- sd(data_logits)
n <- length(data_logits)
crit_t99 <- qt(.995, df = n-1) # for a CI99
ci_lo_logits <- mean_logits - crit_t * sd/sqrt(n)
ci_hi_logits <- mean_logits + crit_t * sd/sqrt(n)

# convert back to ratio
mean <- exp(mean_logits)/(1 + exp(mean_logits))
ci_lo <- exp(ci_lo_logits)/(1 + exp(ci_lo_logits))
ci_hi <- exp(ci_hi_logits)/(1 + exp(ci_hi_logits))

Dưới đây là giới hạn dưới và trên của CI 99% cho các dữ liệu này:

> ci_lo
[1] 0.7738327
> ci_hi
[1] 0.8207924

Bạn có thể muốn thử lấy mẫu lại / bootstrapping. Hãy nhìn vào trường hợp đơn giản mà bạn đề cập.

Với 3 điểm dữ liệu là 0,99, 0,94 và 0,94, bạn thậm chí sẽ không thực hiện việc lấy mẫu lại vì bạn có thể liệt kê tất cả 27 hoán vị có thể, tìm giá trị trung bình trong từng trường hợp và sau đó sắp xếp phương tiện.

$25/27=$$26/27=$

$n$

Câu hỏi ở đây: Làm thế nào để chúng ta tạo khoảng tin cậy cho tham số của phép thử hoán vị? cung cấp thêm chi tiết, bao gồm một số mã R.

Khoảng tin cậy nhị thức đã là chủ đề của các cuộc tranh luận thống kê trong một thời gian dài. Vấn đề của bạn xem xét tỷ lệ dưới 100%, nhưng nó thậm chí còn trở nên rắc rối hơn nếu chúng ta sử dụng 100%. Một cách sâu sắc để đặt câu hỏi là:

Với mặt trời đã mọc mà không thất bại mỗi ngày trong 2.000 năm qua, xác suất mà nó sẽ tăng vào ngày mai là gì?

$p=1$

Có một số phương pháp để tính toán các đuôi này. Tôi khuyên bạn nên kiểm tra Wikipedia cho toán học, hoặc nếu bạn chỉ muốn câu trả lời, hãy tìm kiếm một máy tính khoảng nhị thức như thế này (điều này cũng có một số giải thích thêm về toán học đằng sau nó).

Một cách tiếp cận Bayes:

$B$$B$