Điều hòa có nghĩa là giảm thiểu tổng các lỗi tương đối bình phương

Tôi đang tìm kiếm một tài liệu tham khảo nơi nó được chứng minh rằng ý nghĩa hài hòa

{\bar{x}}^{h} = \frac{n}{\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{x_{i}}}

$\bar{x}^h = \frac{n}{\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i}}$

giảm thiểu (tính bằng $z$ ) tổng các lỗi tương đối bình phương

\sum_{i = 1}^{n} (\frac{(x_{i} - z)^{2}}{x_{i}}) .

$\sum_{i=1}^n \left( \frac{(x_i - z)^2}{x_i}\right).$

— Martin Van der Linden
nguồn

Câu trả lời:

Tại sao bạn cần một tài liệu tham khảo? Đây là một bài toán tính toán đơn giản: Đối với bài toán như bạn đã xây dựng nó có ý nghĩa, chúng ta phải giả sử rằng tất cả $x_i > 0$ . Sau đó, xác định chức năng

f (z) = \sum_{i = 1}^{n} \frac{(x_{i} - z)^{2}}{x_{i}}

$f(z) = \sum_{i=1}^n \frac{(x_i - z)^2}{x_i}$ Sau đó tính toán đạo hàm đối với với

z

$z$ :

f^{'} (z) = - 2 \cdot \sum_{i = 1}^{n} (1 - \frac{z}{x_{i}})

$f'(z) = -2\cdot \sum_{i=1}^n (1-\frac{z}{x_i})$ sau đó giải phương trình

f^{'} (z) = 0

$f'(z)=0$ đưa ra lời giải. Bây giờ, tất nhiên chúng ta phải xem xét rằng đây thực sự là một mức tối thiểu, để tính toán rằng thứ hai phái:

cho bất đẳng thức cuối cùng mà chúng ta đã sử dụng, cuối cùng, tất cả

. Không có giả định đó, chúng tôi thực sự có thể mạo hiểm rằng chúng tôi đã tìm thấy tối đa!

f^{″} (z) = - 2 \cdot \sum_{i = 1}^{n} (0 - \frac{1}{x_{i}}) = 2 \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{x_{i}} > 0

$f''(z) = -2 \cdot \sum_{i=1}^n (0-\frac1{x_i}) = 2 \sum_{i=1}^n \frac1{x_i} > 0$

x_{i} > 0

$x_i>0$

Để tham khảo, có thể https://en.wikipedia.org/wiki/Fr%C3%A9chet_mean hoặc https://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_mean hoặc tài liệu tham khảo trong đó.

— kjetil b halvorsen
nguồn

Cảm ơn câu trả lời của bạn. Một tài liệu tham khảo sẽ giúp tôi tiết kiệm không gian. Tôi muốn trích dẫn kết quả là một Bổ đề vào một bằng chứng khác mà không cần phải bao gồm một bằng chứng khép kín về Bổ đề.

— Martin Van der Linden

Thật khó để tìm một tài liệu tham khảo rõ ràng, nó được coi là cơ bản để xứng đáng! Bạn có thể nói rằng bằng chứng là một bài tập tính toán cơ bản không?

— kjetil b halvorsen

Cơ bản như vậy, tôi luôn thích cung cấp một tài liệu tham khảo. Nhưng tôi hiểu rằng các kết quả cơ bản khó tìm được tài liệu tham khảo và để lại bằng chứng cho người đọc rõ ràng là một lựa chọn.

— Martin Van der Linden

Ping ngoài chủ đề tạm thời: xem xét bỏ phiếu cho spearman-> spearman-rho đồng nghĩa ở đây stats.stackexchange.com/tags/spearman-rho/synonymouss . Cảm ơn

— amip nói Phục hồi Monica

Bạn có thể chỉ ra rằng đây là một hồi quy bình phương nhỏ nhất có trọng số với trọng số . $1/x_i$

Để thực hiện các kết nối với các tài liệu tham khảo, trở lại một ký hiệu chuẩn trong đó bạn tìm kiếm để tìm giảm thiểu $\beta$

Σ ω_{Tôi} (y_{Tôi} - β)^{2} .

$\sum \omega_i (y_i - \beta)^2.$

Đây là một mô hình với một hằng số regressor đơn và trọng lượng ma trận

X = = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ ⋮ \\ 1 \end{matrix})

$X = \pmatrix{1\\1\\\vdots\\1}$

W = = (\begin{matrix} ω_{1} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & ω_{2} & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & 0 \\ 0 & \dots & 0 & ω_{n} \end{matrix}) .

$W = \pmatrix{\omega_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \omega_2 & \cdots & 0 \\\vdots & \vdots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & \omega_n}.$

$x_i$ $y_i$ $\beta$ $z$ $\omega_i=1/x_i$ $0$

\hat{β} = = (X^{'} W X)^{- 1} X^{'} W y = = \frac{\underset{Tôi}{Σ} x_{Tôi} ω_{Tôi}}{\underset{Tôi}{Σ} ω_{Tôi}} = = \frac{\underset{Tôi}{Σ} x_{Tôi} / x_{Tôi}}{\underset{Tôi}{Σ} 1 / x_{Tôi}} = = \frac{n}{Σ 1 / x_{Tôi}},

$\hat\beta = (X^\prime W X)^{-1}X^\prime W y = \frac{\sum_i x_i\omega_i }{\sum_i \omega_i} = \frac{\sum_i x_i/x_i }{\sum_i 1/x_i} = \frac{n}{\sum 1/x_i},$

QED .

Bình luận

Phân tích tương tự áp dụng cho bất kỳ tập hợp trọng số tích cực nào, cung cấp một khái quát về ý nghĩa hài hòa và một cách hữu ích để mô tả nó.
$x_i$
$x_i$ $W$

Tài liệu tham khảo

Douglas C. Montgomery, Elizabeth A. Peck và G. Geoffrey Vining, Giới thiệu về phân tích hồi quy tuyến tính. Phiên bản thứ năm. J. Wiley, 2012. Mục 5.5.2.

— whuber
nguồn