xác suất gamma lớn hơn số mũ

Để cho $X \sim Gamma(3,3)$ và $Y \sim Exp(1)$ .

Làm thế nào để tôi tính toán $P(X>Y)$ ?

Tôi tin rằng tôi đã viết lại nó như là $P(X-Y>0)$ nhưng tôi không chắc làm thế nào để tính toán $X-Y$ cho hai bản phân phối khác nhau?

probability distributions exponential

— Thống kê Joe
nguồn

Bản sao có thể có của Sự khác biệt của các biến ngẫu nhiên Gamma

— COOLSerdash

Đây là một bài viết đối phó với vấn đề của bạn. Tôi tin rằng có thể đạt được mật độ gần

X - Y

$X-Y$ trong trường hợp của bạn. Quan sát rằng phân phối theo cấp số nhân tiêu chuẩn là một

G a m m a (1, 1)

$\mathrm{Gamma}(1, 1)$ phân phối.

— COOLSerdash

@COOL Mặc dù cách tiếp cận đó sẽ hiệu quả, nhưng có vẻ như là một cách quá phức tạp để tìm một xác suất duy nhất: chúng ta không cần phải tìm ra toàn bộ phân phối của sự khác biệt.

— whuber

Giả định quan trọng của sự độc lập của

X

$X$ và

Y

$Y$ mất tích

— StubbornAtom

Câu trả lời:

Nếu $X$ có chức năng mật độ $\lambda \frac{(\lambda x)^2}{\Gamma(3)}\exp(-\lambda x)\mathbf 1_{\{x\colon x > 0\}}$ và độc lập $Y$ có chức năng mật độ $\exp(-y)\mathbf 1_{\{y\colon x > 0\}}$ , sau đó

\begin{aligned} P {X < Y} & = \int_{0}^{\infty} λ \frac{(λ x)^{2}}{Γ (3)} \exp (- λ x) \int_{x}^{\infty} \exp (- y) d y d x \\ = \int_{0}^{\infty} λ \frac{(λ x)^{2}}{Γ (3)} \exp (- (λ + 1) x) d x \\ = {(\frac{λ}{λ + 1})}^{3} \int_{0}^{\infty} (λ + 1) \frac{((λ + 1) x)^{2}}{Γ (3)} \exp (- (λ + 1) x) d x \\ = {(\frac{λ}{λ + 1})}^{3} . \end{aligned}

$\begin{align} P\{X < Y\} &= \int_{0}^\infty \lambda \frac{(\lambda x)^2}{\Gamma(3)}\exp(-\lambda x) \int_{x}^\infty \exp(-y)\, \mathrm dy \, \mathrm dx\\ &= \int_{0}^\infty \lambda \frac{(\lambda x)^2}{\Gamma(3)}\exp(-(\lambda+1) x)\, \mathrm dx\\ &= \left(\frac{\lambda}{\lambda+1}\right)^3\int_{0}^\infty (\lambda+1) \frac{((\lambda+1) x)^2}{\Gamma(3)}\exp(-(\lambda+1) x)\, \mathrm dx\\ &= \left(\frac{\lambda}{\lambda+1}\right)^3. \end{align}$

Cũng xem xét một quá trình Poisson với tỷ lệ đến $\lambda+1$ . Chúng ta có thể phân tách quá trình này thành hai quy trình độc lập Poisson $\mathcal X$ và $\mathcal Y$ tỷ lệ $\lambda$ và $1$ tương ứng bằng cách dán nhãn mỗi lần đến là thuộc về $\mathcal X$ quá trình (với xác suất $\frac{\lambda}{\lambda+1}$ ) hoặc đến $\mathcal Y$ quá trình (với xác suất $\frac{1}{\lambda+1}$ ), với mỗi nhãn được chọn độc lập với tất cả các nhãn khác. Sau đó, $X$ có thể được coi là thời điểm đến lần thứ ba (sau $t = 0$ ) bên trong $\mathcal X$ quá trình con trong khi $Y$ là thời điểm đến đầu tiên (sau $t = 0$ ) bên trong $\mathcal Y$ quy trình con. Với cách giải thích này, $X < Y$ chỉ là sự kiện mà ba người đến đầu tiên sau $t=0$ tất cả đều được dán nhãn là thuộc về $\mathcal X$ quy trình con, và sự kiện này có xác suất $\displaystyle \left(\frac{\lambda}{\lambda+1}\right)^3$ . Nhìn kìa Không có tích phân nào được tính toán khi đi đến câu trả lời!

— Dilip Sarwate
nguồn

Có một mối quan hệ giữa các biến ngẫu nhiên gamma và beta dẫn đến một biểu thức chung cho $P[X>Y]$ cho bất kỳ hai biến ngẫu nhiên gamma độc lập.

Nếu $X \sim \rm{Gamma}(\alpha_1,\beta_1)$ và $Y \sim \rm{Gamma}(\alpha_2,\beta_2),$ Ở đâu $\alpha$ là tham số hình dạng, $\beta$ là tham số tỷ lệ và giá trị trung bình là $\alpha \beta,$ sau đó

P [X > Y] = H_{α_{2}, α_{1}} (\frac{β_{1}}{β_{1} + β_{2}}),

$P[X>Y] = H_{\alpha_2,\alpha_1} \left( \frac{\beta_1}{\beta_1+\beta_2} \right),$

Ở đâu $H$ là hàm phân phối tích lũy của biến ngẫu nhiên beta. Trong trường hợp của bạn, tôi tính $P[X>Y]=0.984375$

Nếu bạn đã sử dụng một tham số hóa khác nhau của phân phối gamma, điều này sẽ cần phải được điều chỉnh.

Đây là sự phát triển. Chúng ta có thể xây dựng $\beta_1Y \sim \rm{Gamma}(\alpha_2,\beta_1\beta_2)$ và $\beta_2X \sim \rm{Gamma} (\alpha_1,\beta_1 \beta_2).$ Bây giờ hãy xem xét

W = \frac{β_{1} Y}{β_{1} Y + β_{2} X}

$W = \frac{\beta_1Y}{\beta_1Y+\beta_2X}$

Nó được biết (xem https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution , Phần phân phối và thuộc tính liên quan) rằng $W$ có bản phân phối beta với tham số hình dạng đầu tiên của $\alpha_2$ và tham số hình dạng thứ hai của $\alpha_1.$

Vậy thì

P [W = \frac{β_{1} Y}{β_{1} Y + β_{2} X} < \frac{β_{1}}{β_{1} + β_{2}}] = H_{α_{2}, α_{1}} (\frac{β_{1}}{β_{1} + β_{2}}),

$P \left[ W = \frac{\beta_1Y}{\beta_1Y+\beta_2X}<\frac{\beta_1}{\beta_1+\beta_2} \right]=H_{\alpha_2,\alpha_1} \left( \frac{\beta_1}{\beta_1+\beta_2} \right),$

Ở đâu $H$ là hàm phân phối tích lũy của biến ngẫu nhiên beta.

Lấy đối ứng và đơn giản hóa,

P [W = \frac{β_{1} Y}{β_{1} Y + β_{2} X} < \frac{β_{1}}{β_{1} + β_{2}}] = P [\frac{β_{1} Y + β_{2} X}{β_{1} Y} > \frac{β_{1} + β_{2}}{β_{1}}]

$P \left[ W = \frac{\beta_1Y}{\beta_1Y+\beta_2X}<\frac{\beta_1}{\beta_1+\beta_2} \right]=P \left[ \frac{\beta_1Y+\beta_2X}{\beta_1Y} > \frac{\beta_1+\beta_2}{\beta_1} \right]$

= P [1 + \frac{β_{2} X}{β_{1} Y} > 1 + \frac{β_{2}}{β_{1}}] = P [\frac{X}{Y} > 1] = P [X > Y] = H_{α_{2}, α_{1}} (\frac{β_{1}}{β_{1} + β_{2}})

$= P \left[ 1 + \frac{\beta_2X}{\beta_1Y}>1+\frac{\beta_2}{\beta_1} \right]=P \left[ \frac{X}{Y} >1 \right] =P \left[ X>Y \right] =H_{\alpha_2,\alpha_1} \left( \frac{\beta_1}{\beta_1+\beta_2} \right)$

— ngâm
nguồn

Bạn có thể chứng minh kết quả này hoặc trích dẫn một tài liệu tham khảo có thể truy cập? Tôi đang có một thời gian khó khăn để xem tại sao nó phải là sự thật. Chẳng hạn, hãy

α_{1} = α_{2} = β_{2} = 1

$\alpha_1=\alpha_2=\beta_2=1$ và xem xét những gì xảy ra như

β_{1}

$\beta_1$ phát triển lớn. Phía bên tay phải tiếp cận

F_{1, 1} (1) = 0.391826 \dots

$F_{1,1}(1) = 0.391826\ldots$ từ bên dưới, trong khi phía bên tay trái phải tiếp cận

1

$1$ .

— whuber

Bạn lấy ở đâu

F_{1, 1} (1) = 0.391826

$F_{1,1}(1)=0.391826$ ? Như đã nêu,

F

$F$ là cdf của một biến ngẫu nhiên beta. Vì thế

F_{1, 1} (1) = 1.

$F_{1,1}(1)=1.$ Tôi thấy làm thế nào các ký hiệu có thể gây hiểu nhầm, mặc dù. Tôi sẽ thêm một số phát triển để hiển thị kết quả nếu tôi có thể tạo ra thời gian.

— soakley

Xin lỗi, tôi đã bỏ qua phần "beta" và cho rằng bạn đang đề cập đến phân phối tỷ lệ F (liên quan chặt chẽ)! Cảm ơn bạn đã giải thích.

— whuber

@whuber soakley Tôi tin rằng điều này diễn ra như sau:

P [X > Y] = P [Y^{*} < \frac{β_{2}}{β_{1}} X^{*}]

$P[X>Y] = P[Y^* < \frac{\beta_2}{\beta_1} X^*]$ Ở đâu

X^{*} \sim G a m m a (α_{1}, 1)

$X^* \sim \rm{Gamma}(\alpha_1,1)$ và

Y^{*} \sim G a m m a (α_{2}, 1)

$Y^* \sim \rm{Gamma}(\alpha_2,1)$ là các phiên bản tỷ lệ đơn vị của

X

$X$ và

Y

$Y$ . Sử dụng

\frac{Y^{*}}{Y^{*} + X^{*}} \sim B e t a (α_{2}, α_{1})

$\frac{Y^*}{Y^*+X^*} \sim \rm{Beta}(\alpha_2,\alpha_1)$ ( Wikipedia ), và lưu ý rằng

P [\frac{Y^{*}}{Y^{*} + X^{*}} < c] = P [Y^{*} < \frac{c}{1 - c} X^{*}]

$P[\frac{Y^*}{Y^*+X^*} < c] = P[Y^* < \frac{c}{1-c}X^*]$ , chúng tôi đặt

\frac{c}{1 - c} = \frac{β_{2}}{β_{1}}

$\frac{c}{1-c} = \frac{\beta_2}{\beta_1}$ cho

c = \frac{β_{1}}{β_{1} + β_{2}}

$c = \frac{\beta_1}{\beta_1 + \beta_2}$ .

— A. Webb

Có, tôi đã thêm sự phát triển và thay đổi cdf beta để được chỉ định là

H

$H$ để tránh nhầm lẫn với một

F

$F$ phân phối.

— soakley

Cách học vẹt $P[Y>X]$ là bởi tích phân kép

\int_{0}^{\infty} f_{X} (x) d x \int_{x}^{\infty} f_{Y} (y) d y

$\int_0^\infty f_X(x) dx \int_x^\infty f_Y(y) dy$

Trong đó tích phân bên trong có thể được công nhận là hàm tồn tại của $Y$ , một số mũ với tham số $\lambda=1$ , tại $x$ , tương đương với $e^{-x}$ . Sau đó tích phân còn lại

\int_{0}^{\infty} e^{- x} f_{X} (x) d x

$\int_0^\infty e^{-x} f_X(x) dx$

có thể được công nhận là chức năng tạo thời điểm của $X$ đánh giá tại $-1$ . MGF của một $\rm{Gamma}$ Là $(1-\theta t)^{-k}$ , mà cho $\theta = 3, k=3, t=-1$ Là

(1 + 3)^{- 3} = 0.015625

$(1+3)^{-3} = 0.015625$

Câu hỏi dành cho $P[X>Y] = 1-P[Y>X]$ , vì vậy chúng tôi muốn

1 - (1 + 3)^{- 3} = 1 - 0.015625 = 0.984375

$1-(1+3)^{-3} = 1-0.015625 = 0.984375$

đồng ý với câu trả lời của soakley .

— A. Webb
nguồn