Thông thường lỗi phân phối và định lý giới hạn trung tâm

Trong Kinh tế lượng giới thiệu của Wooldridge có một câu trích dẫn:

Đối số biện minh cho phân phối bình thường cho các lỗi thường chạy một cái gì đó như thế này: bởi vì $u$ là tổng của nhiều yếu tố không quan sát khác nhau ảnh hưởng đến $y$ , chúng ta có thể gọi định lý giới hạn trung tâm để kết luận rằng $u$ có phân phối chuẩn gần đúng.

Trích dẫn này liên quan đến một trong những giả định mô hình tuyến tính, cụ thể là:

$u \sim N(μ, σ^2)$

Trong đó là thuật ngữ lỗi trong mô hình dân số. $u$

Bây giờ, theo như tôi biết, Định lý giới hạn trung tâm nói rằng sự phân phối của

$Z_i=(\overline{Y_i}-μ)/(σ/√n)$

(nơi là số trung bình của mẫu ngẫu nhiên rút ra từ bất kỳ dân số với trung bình và phương sai ) $\overline{Y_i}$ $μ$ $σ^2$

tiếp cận với biến thông thường tiêu chuẩn là . $n \rightarrow \infty$

Câu hỏi:

Giúp tôi hiểu cách quy tắc tiệm cận của ngụ ý $Z_i$ $u \sim N(μ, σ^2)$

— ngỗng
nguồn

Điều này có thể được đánh giá tốt hơn bằng cách biểu thị kết quả của CLT dưới dạng tổng của các biến ngẫu nhiên iid. Chúng ta có

\sqrt{n} \frac{\bar{X} - μ}{σ} \sim N (0, 1) asymptotically

$\sqrt{n} \frac{ \bar{X} -\mu}{\sigma} \sim N(0, 1) \quad \text{asymptotically}$

Nhân số thương với và sử dụng thực tế là để có được $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ $Var(cX) = c^2 Var(X)$

\bar{X} - μ \sim N (0, \frac{σ^{2}}{n})

$\bar{X}-\mu \sim N\left(0, \frac{\sigma^2}{n} \right)$

Bây giờ hãy thêm vào LHS và sử dụng thực tế là để có được $\mu$ $\mathbb{E} \left[a X+\mu\right] = a \mathbb{E}[X] + \mu$

\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i} \sim N (μ, \frac{σ^{2}}{n})

$\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n} \right)$

Cuối cùng, nhân với và sử dụng hai kết quả trên để thấy rằng $n$

\sum_{i = 1}^{n} X_{i} \sim N (n μ, n σ^{2})

$\sum_{i=1}^n X_i \sim N \left(n \mu, n\sigma^2 \right)$

Và điều này có liên quan gì đến tuyên bố của Wooldridge? Chà, nếu lỗi là tổng của nhiều biến ngẫu nhiên iid thì nó sẽ được phân phối bình thường, như vừa thấy. Nhưng có một vấn đề ở đây, đó là các yếu tố không được quan sát sẽ không nhất thiết phải được phân phối giống hệt nhau và chúng thậm chí có thể không độc lập!

Tuy nhiên, CLT đã được mở rộng thành công thành các biến ngẫu nhiên không phân phối độc lập và thậm chí các trường hợp phụ thuộc nhẹ, trong một số điều kiện đều đặn bổ sung. Về cơ bản, đây là những điều kiện đảm bảo rằng không có thuật ngữ nào trong tổng số ảnh hưởng không tương xứng đến phân phối tiệm cận, xem thêm trang wikipedia trên CLT . Tất nhiên bạn không cần phải biết những kết quả này; Mục đích của Wooldridge chỉ đơn thuần là cung cấp trực giác.

Hi vọng điêu nay co ich.

— JohnK
nguồn

Tôi sẽ nói thêm (vì tác giả nghiên cứu về kinh tế lượng) rằng trong lĩnh vực nghiên cứu của ông, rất nhiều biến ngẫu nhiên (ít nhất là các biến được sử dụng cho mô hình hóa) không có các khoảnh khắc đầu tiên, chẳng hạn như phân phối Cauchy. Vì vậy, CLT không phải là người bạn có thể dựa vào trong lĩnh vực này.

— Đức Demidov