Làm thế nào để tạo số dựa trên phân phối rời rạc tùy ý?

Làm cách nào để tạo số dựa trên phân phối rời rạc tùy ý?

Ví dụ, tôi có một bộ số mà tôi muốn tạo. Nói rằng chúng được dán nhãn từ 1-3 như sau.

1: 4%, 2: 50%, 3: 46%

Về cơ bản, tỷ lệ phần trăm là xác suất mà chúng sẽ xuất hiện trong đầu ra từ trình tạo số ngẫu nhiên. Tôi có một trình tạo số pesudorandom sẽ tạo phân phối đồng đều trong khoảng [0, 1]. Có cách nào để làm điều này?

Không có giới hạn về số lượng phần tử tôi có thể có, nhưng% sẽ thêm tới 100%.

Một trong những thuật toán tốt nhất để lấy mẫu từ một phân phối rời rạc là phương pháp bí danh .

Phương pháp bí danh (hiệu quả) sắp xếp trước cấu trúc dữ liệu hai chiều để phân vùng hình chữ nhật thành các khu vực tỷ lệ thuận với xác suất.

Trong sơ đồ này từ các trang web tham chiếu, một hình chữ nhật có chiều cao đơn vị đã được phân chia thành bốn loại các vùng - như phân biệt bằng màu sắc - theo tỷ lệ , 1 / 3 , 1 / 12 , và 1 / 12 , trong để lấy mẫu nhiều lần từ một phân phối rời rạc với các xác suất này. Các dải dọc có chiều rộng (đơn vị) không đổi. Mỗi phần được chia thành một hoặc hai mảnh. Các danh tính của các mảnh và vị trí của các phân chia dọc được lưu trữ trong các bảng có thể truy cập thông qua chỉ mục cột.$1/2$$1/3$$1/12$$1/12$

Bảng có thể được lấy mẫu theo hai bước đơn giản (một cho mỗi tọa độ) yêu cầu chỉ tạo hai giá trị thống nhất độc lập và tính toán . Điều này cải thiện tính toán O ( log ( n ) ) cần thiết để đảo ngược CDF rời rạc như được mô tả trong các câu trả lời khác ở đây.$O(1)$$O(\log(n))$

Bạn có thể làm điều này dễ dàng trong R, chỉ cần xác định kích thước bạn cần:

sample(x=c(1,2,3), size=1000, replace=TRUE, prob=c(.04,.50,.46))

Trong ví dụ của bạn, giả sử bạn vẽ giá trị Đồng phục giả [0,1] và gọi nó là U. Sau đó xuất ra:

1 nếu U <0,04

2 nếu U> = 0,04 và U <0,54

3 nếu U> = 0,54

Nếu% được chỉ định là a, b, ..., chỉ cần xuất ra

giá trị 1 nếu U

giá trị 2 nếu U> = a và U <(a + b)

v.v.

Về cơ bản, chúng tôi đang ánh xạ% vào các tập hợp con của [0,1] và chúng tôi biết xác suất giá trị ngẫu nhiên đồng nhất rơi vào bất kỳ phạm vi nào chỉ đơn giản là độ dài của phạm vi đó. Đặt các phạm vi theo thứ tự có vẻ đơn giản nhất, nếu không phải là duy nhất, để làm điều đó. Điều này giả định rằng bạn chỉ hỏi về các bản phân phối rời rạc; để liên tục, có thể làm một cái gì đó như "lấy mẫu từ chối" ( mục nhập Wikipedia ).

Giả sử có kết quả rời rạc có thể. Bạn chia khoảng [ 0 , 1 ] vào subintervals dựa trên hàm xác suất khối lượng tích lũy, F , để cung cấp cho các phân vùng ( 0 , 1 ) khoảng$m$$[0,1]$$F$$(0,1)$

nơi và F ( 0 ) ≡ 0 . Trong ví dụ của bạn m = 3 và$I_{j} = (F(j-1), F(j))$$F(0) \equiv 0$$m = 3$

kể từ và F ( 2 ) = .54 và F ( 3 ) = 1 .$F(1) = .04$$F(2) = .54$$F(3) = 1$

Sau đó, bạn có thể tạo với phân phối F bằng thuật toán sau:$X$$F$

(1) tạo $U \sim {\rm Uniform}(0,1)$

(2) Nếu , sau đó X = j .$U \in I_{j}$$X = j$

• Bước này có thể được thực hiện bằng cách xem liệu có nhỏ hơn từng xác suất tích lũy hay không và xem điểm thay đổi (từ đến ) xảy ra ở đâu, đó là vấn đề sử dụng toán tử boolean trong bất kỳ ngôn ngữ lập trình nào bạn đang sử dụng và tìm nơi đầu tiên xảy ra trong vector.$U$TRUEFALSEFALSE

Lưu ý rằng sẽ nằm trong chính xác một trong các khoảng I j vì chúng tách rời nhau và phân vùng [ 0 , 1 ] .$U$$I_{j}$$[0,1]$

One simple algorithm is to start with your uniform random number and in a loop first subtract off the first probability, if the result is negative then you return the first value, if still positive then you go to the next iteration and subtract off the next probability, check if negative, etc.

This is nice in that the number of values/probabilities can be infinite but you only need to calculate the probabilities when you get close to those numbers (for something like generating from a Poisson or negative binomial distribution).

If you have a finite set of probabilities, but will be generating many numbers from them then it could be more efficient to sort the probabilities so that you subtract the largest first, then the 2nd largest next and so forth.

First of all, let me draw your attention to a python library with ready-to-use classes for either integer or floating point random number generation that follow arbitrary distribution.

Generally speaking there are several approaches to this problem. Some are linear in time, but require large memory storage, some run in O(n log(n)) time. Some are optimized for integer numbers and some are defined for circular histograms (for example: generating random time spots during a day). In the above mentioned library I used this paper for integer number cases and this recipe for floating point numbers. It (still) lacks circular histogram support and is generally messy, but it works well.

I had the same problem. Given a set where each item has a probability and whose items' probabilities sum up to one, I wanted to draw a sample efficiently, i.e. without sorting anything and without repeatedly iterating over the set.

The following function draws the lowest of $N$ uniformly distributed random numbers within the interval $[a,1)$. Let $r$ be a random number from $[0,1)$.

You can use this function to draw an ascending series $(a_i)$ of $N$ uniformly distributed random numbers in [0,1). Here is an example with $N = 10$:

$a_0 = \text{next}(10, 0)$
$a_1 = \text{next}(9, a_0)$
$a_2 = \text{next}(8, a_1)$
$\dots$
$a_9 = \text{next}(1, a_8)$

While drawing that ascending series $(a_i)$ of uniformly distributed numbers, iterate over the set of probabilities $P$ which represents your arbitraty (yet finite) distribution. Let $0 \leq k < |P|$ be the iterator and $p_k \in P$. After drawing $a_i$, increment $k$ zero or more times until $\sum p_0 \dots p_k > a_i$. Then add $p_k$ to your sample and move on with drawing $a_{i+1}$.

Example with the op's set $\{(1, 0.04), (2, 0.5), (3, 0.46)\}$ and sample size $N = 10$:

i  a_i    k  Sum   Draw
0  0.031  0  0.04  1
1  0.200  1  0.54  2
2  0.236  1  0.54  2
3  0.402  1  0.54  2
4  0.488  1  0.54  2
5  0.589  2  1.0   3
6  0.625  2  1.0   3
7  0.638  2  1.0   3
8  0.738  2  1.0   3
9  0.942  2  1.0   3

Sample: $(1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3)$

If you wonder about the $\text{next}$ function: It is the inverse of the probability that one of $N$ uniformly distributed random numbers lies within the interval $[a, x)$ with $x \leq 1$.