Là việc sử dụng độ lệch chuẩn được xây dựng dựa trên giả định phân phối bình thường?

9

Tôi tự hỏi nếu độ lệch chuẩn luôn được xây dựng dựa trên giả định phân phối bình thường. Nói cách khác, nếu mẫu không được phân phối bình thường, thì nên sử dụng độ lệch chuẩn có được coi là một sai lầm không?

normal-distribution standard-deviation

— Dougal
nguồn

3

Một phân phối đồng đều có độ lệch chuẩn, làm thế nào điều này có thể là một "sai lầm"?

17

Không. Việc sử dụng độ lệch chuẩn không giả định tính quy tắc.

Phương sai của một biến ngẫu nhiên được định nghĩa là . Miễn là phương sai tồn tại, độ lệch chuẩn cũng tồn tại. Độ lệch chuẩn là căn bậc hai của phương sai. $\operatorname{Var}(X) = \operatorname{E}[(X - \operatorname{E}[X])^2]$

Bạn có thể sử dụng phương sai hoặc độ lệch chuẩn bất cứ lúc nào hai cái đó tồn tại. Phương sai xuất hiện trong vô số tình huống. $\operatorname{Var}(X)$

Có những định lý đặc biệt, bổ đề v.v ... mặc dù đối với trường hợp đặc biệt trong đó tuân theo phân phối chuẩn. $X$

Việc sử dụng phổ biến độ lệch chuẩn phụ thuộc vào tính quy tắc:

Nếu tuân theo phân phối chuẩn, thì có xác suất xấp xỉ 95% rằng nằm trong hai độ lệch chuẩn của giá trị trung bình. $X$ $X$

Tuyên bố đó là đúng nếu tuân theo phân phối bình thường (và một số khác) nhưng nói chung nó không đúng. $X$

Một cách sử dụng phổ biến của phương sai không phụ thuộc vào tính quy tắc:

Hãy là một biến ngẫu nhiên với trung bình và phương sai . Xác định cho là các biến ngẫu nhiên độc lập, mỗi sau sự phân bố giống hệt như . $X$ $\operatorname{E}[X] = \mu$ $\operatorname{Var}(X) = \sigma^2$ $X_i$ $i=1, \ldots, n$ $X$

Xác định mẫu có nghĩa là dựa trên quan sát như: $n$

{\bar{X}}_{n} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}

$\bar{X}_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$

$\bar{X}_n$ $\mu$ $\frac{\sigma^2}{n}$ $\sqrt{n}\left( \bar{X}_n - \mu \right)$ $\mathcal{N}(0,\sigma^2)$ $n \rightarrow \infty$

$\bar{X}_n$ $n$ $\frac{\sigma^2}{n}$ $X$ $\operatorname{Var}(X)=\sigma^2$ $X$ $n$ $X$

$X$ $X$

— Matthew Gunn
nguồn

4

1

$1$

@whuber Vâng, tôi đã bắt đầu viết một ví dụ CLT (và bây giờ tôi đã thêm nó). CLT là một lý do cực kỳ thiết thực để quan tâm đến phương sai.

— Matthew Gunn

1

+1. Nhưng lưu ý rằng trong khi phương sai (cùng với giá trị trung bình) đưa ra một mô tả đầy đủ trong trường hợp bình thường, để phân phối nonnormal sức này không còn là trường hợp, và d3scriptors khác của dữ liệu có thể là tốt hơn nhiều

— Kjetil b Halvorsen

2

$S^2$ $\hat{\sigma}^2_{ML}$ $\mathrm{Var}[X_i]$

— thiền học
nguồn