Hậu quả của sự bất bình đẳng tương quan Gaussian cho tính toán khoảng tin cậy chung

Theo bài báo rất thú vị này trên Tạp chí Quanta: "Bằng chứng dài dòng, tìm thấy và gần như bị mất" , - người ta đã chứng minh rằng đã đưa ra một vectơ có đa biến Phân phối Gaussian và các khoảng xoay quanh các phương tiện của các thành phần tương ứng của , sau đó $\mathbf{x}=(x_1,\dots,x_n)$ $I_1,\dots,I_n$ $\mathbf{x}$

p (x_{1} \in {tôi}_{1}, Giáo dục, x_{n} \in {tôi}_{n}) \geq Π_{tôi = = 1}^{n} p (x_{tôi} \in {tôi}_{tôi})

$p(x_1\in I_1, \dots, x_n\in I_n)\geq \prod_{i=1}^n p(x_i\in I_i)$

(Bất đẳng thức tương quan Gaussian hoặc GCI; xem https://arxiv.org/pdf/1512.08776.pdf để biết công thức tổng quát hơn).

Điều này có vẻ thực sự tốt đẹp và đơn giản, và bài báo nói rằng nó có hậu quả cho khoảng tin cậy chung. Tuy nhiên, nó có vẻ khá vô dụng đối với tôi. Giả sử chúng tôi đang ước tính các tham số và chúng tôi đã tìm thấy các công cụ ước tính (có thể là không có triệu chứng) cùng bình thường (ví dụ: công cụ ước tính MLE) . Sau đó, nếu tôi tính khoảng tin cậy 95% cho mỗi tham số, thì GCI đảm bảo rằng hypercube là vùng tin cậy chung có độ bao phủ không nhỏ hơn ... có độ phủ khá thấp cho vừa phải . $\theta_1,\dots,\theta_n$ $\hat{\theta_1},\dots,\hat{\theta_n}$ $I_1\times\dots I_n$ $(0.95)^n$ $n$

Do đó, dường như không phải là một cách thông minh để tìm các vùng tin cậy chung: vùng tin cậy thông thường cho một Gaussian đa biến, tức là một hyperellipsoid, không khó để tìm ra nếu ma trận hiệp phương sai được biết và nó sắc nét hơn. Có lẽ nó có thể hữu ích để tìm các vùng tin cậy khi ma trận hiệp phương sai không xác định? Bạn có thể chỉ cho tôi một ví dụ về sự liên quan của GCI với tính toán của các khu vực niềm tin chung không?

normal-distribution confidence-interval multivariate-normal

— DeltaIV
nguồn

Bạn có ý tưởng đúng. Khoảng tin cậy cá nhân phải cao hơn 95% đối với vùng khớp để đạt được 95%. Mỗi phải có ít nhất 0,95 được nâng lên mức 1 / nth.

— Michael R. Chernick

I_{k}

$I_k$

I_{k} = {x : | x | \leq x_{k}}

$I_k=\{x: |x|\leq x_k\}$

@amoeba Tôi không quan tâm đến sự khó khăn của bằng chứng, nhưng về sự liên quan của nó với số liệu thống kê được áp dụng. Nếu xem xét một siêu hình chữ nhật làm cho nó dễ dàng hơn để thể hiện sự liên quan như vậy, tốt. Nếu thay vào đó, bạn nghĩ rằng sự bất bình đẳng này chỉ trở nên hữu ích trong thực tế khi một đa giác tùy ý được xem xét, đủ công bằng. Tôi sẽ chấp nhận một câu trả lời rằng "nếu bạn chỉ xem xét các siêu hình chữ nhật, thì GCI không phải là một công cụ rất hữu ích cho một nhà thống kê ứng dụng, bởi vì .... Nhưng nếu bạn xem xét các đa giác tùy ý, thì nó sẽ trở nên phù hợp, bởi vì ..."

— DeltaIV

Tôi muốn chỉnh sửa và xem xét các giấy tờ với các bằng chứng nhưng bây giờ tôi không chắc chắn 100% nữa nếu siêu hình chữ nhật là một trường hợp đặc biệt / dễ dàng hoặc một công thức tương đương. Tôi sẽ để nó bây giờ và có thể quay lại đây sau.

— amip nói rằng Phục hồi lại

H

$H$

x = (x_{1}, \dots, x_{n}) \in H ⟺ - x \in H

$\mathbf{x}=(x_1,\dots,x_n)\in H \iff -\mathbf{x} \in H$

Tôi nghĩ rằng câu hỏi có liên quan nhiều hơn. Ở một khía cạnh nào đó, bạn đang xem xét nhiều thử nghiệm giả thuyết và so sánh với việc chạy thử nghiệm nhiều giả thuyết.

Vâng, thực sự có một giới hạn thấp hơn là sản phẩm của các giá trị p của các thử nghiệm giả định tính độc lập. Đây là cơ sở để điều chỉnh giá trị p trong các Thử nghiệm đa giả thuyết như điều chỉnh Bonferroni hoặc Holm. Nhưng các điều chỉnh Bonferroni và Holm (giả định tính độc lập) là các thử nghiệm công suất đặc biệt thấp.

Người ta có thể làm tốt hơn nhiều trong thực tế (và điều này được thực hiện thông qua Bootstrap, xem, ví dụ, Kiểm tra thực tế Bootstrap của H White, các bài báo của Romano-Wolf và bộ giấy tờ gần đây hơn về Bộ tin cậy mô hình). Mỗi trong số này là một nỗ lực trong một thử nghiệm giả thuyết công suất cao hơn (ví dụ: sử dụng mối tương quan ước tính để làm tốt hơn là chỉ sử dụng giới hạn dưới này) và do đó có liên quan hơn nhiều.

— NBF
nguồn