Giá trị trung bình hình học là một ước lượng không thiên vị của giá trị trung bình của phân phối liên tục?

Có bất kỳ phân phối liên tục rõ ràng nào ở dạng kín, có nghĩa là trung bình hình học của các mẫu là một ước lượng không thiên vị cho trung bình đó không?

Cập nhật: Tôi mới nhận ra rằng các mẫu của tôi phải dương (nếu không thì ý nghĩa hình học có thể không tồn tại) nên có thể liên tục không phải là từ đúng. Làm thế nào về một phân phối bằng không cho các giá trị âm của biến ngẫu nhiên và liên tục cho các giá trị dương. Một cái gì đó giống như một phân phối cắt ngắn.

Tôi tin rằng bạn đang hỏi, nếu có, phân phối của rv là gì, nếu chúng ta có một mẫu iid có kích thước từ phân phối đó, thì nó sẽ giữ điều đón > $X$$n>1$

$$E[GM] = E\left[\left(\prod_{i=1}^n X_{i}\right)^{1/n}\right] = E(X)$$

Do giả định iid , chúng tôi có

$$E\left[\left(\prod_{i=1}^n X_{i}\right)^{1/n}\right] = E\left(X_1^{1/n}\cdot ...\cdot X_n^{1/n}\right) = E\left (X_1^{1/n}\right)\cdot ...\cdot E\left(X_n^{1/n}\right) = \left[E\left(X^{1/n}\right)\right]^n$$

và vì vậy chúng tôi đang hỏi liệu chúng tôi có thể có

$$\left[E\left(X^{1/n}\right)\right]^n = E(X)$$

Nhưng bởi sự bất bình đẳng của Jensen, và thực tế là hàm sức mạnh hoàn toàn lồi lên cho các quyền lực cao hơn sự thống nhất, chúng ta có điều đó, gần như chắc chắn cho một biến ngẫu nhiên không suy biến (không liên tục),

$$\left[E\left(X^{1/n}\right)\right]^n < E\left[\left(X^{1/n}\right)\right]^n = E(X)$$

Vì vậy, không có phân phối như vậy tồn tại.

Liên quan đến việc đề cập đến phân phối log-normal trong một nhận xét, điều có nghĩa là giá trị trung bình hình học ( ) của mẫu từ phân phối log-normal là một ước lượng sai lệch nhưng không có triệu chứng của trung vị . Điều này là do, đối với phân phối lognatural nó giữ rằng$GM$

$$E(X^s) = \exp\left\{s\mu + \frac {s^2\sigma^2}{2}\right \}$$

(trong đó và là các tham số của mức bình thường cơ bản, không phải giá trị trung bình và phương sai của log-normal).$\mu$$\sigma$

Trong trường hợp của chúng tôi, để chúng tôi nhận được$s = 1/n$

$$E(GM) = \left[E\left(X^{1/n}\right)\right]^n = \left[\exp\left\{(\mu/n) + \frac {\sigma^2}{2n^2}\right \}\right]^n = \exp\left\{\mu + \frac {\sigma^2}{2n}\right \}$$

(cho chúng ta biết rằng đó là một ước lượng sai lệch của trung vị). Nhưng

$$\lim \left[E\left(X^{1/n}\right)\right]^n = \lim \exp\left\{\mu + \frac {\sigma^2}{2n}\right \} = e^{\mu}$$

đó là trung vị của phân phối. Người ta cũng có thể chỉ ra rằng phương sai của giá trị trung bình hình học của mẫu hội tụ về 0 và hai điều kiện này đủ để công cụ ước tính này không nhất quán - đối với trung vị,

$$GM \to_p e^{\mu}$$

Đây là một lập luận tương tự với câu trả lời xuất sắc của Alecos vì trung bình số học, bất bình đẳng trung bình hình học là hệ quả của sự bất bình đẳng của Jensen.

• Đặt là trung bình số học:$A_n$$A_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$

• Đặt là trung bình hình học:$G_n$$G_n = \left( \prod_{i=1} X_i \right) ^ \frac{1}{n}$

Trung bình số học, bất đẳng thức trung bình hình học nói rằng có đẳng thức khi và chỉ khi mọi quan sát đều bằng nhau: . (Bất đẳng thức AMGM là hệ quả của bất bình đẳng của Jensen .)$A_n \geq G_n$$X_1 = X_2 = \ldots = X_n$

Trường hợp 1: gần như chắc chắn$X_1 = X_2 = \ldots = X_n$

Sau đó .$\operatorname{E}[G_n] = \operatorname{E}[A_n] = \operatorname{E}[X]$

Trong một số ý nghĩa, đây là một trường hợp hoàn toàn thoái hóa.

Trường hợp 2: choi ≠ $P(X_i \neq X_j) > 0$$i\neq j$

Sau đó, có xác suất dương rằng trung bình hình học nhỏ hơn trung bình số học. Vì tất cả các kết quả và , sau đó chúng tôi có . E [ A n ] = E [ X ] E [ G n ] < E [ X $G_n \leq A_n$$\operatorname{E}[A_n] = \operatorname{E}[X]$$\operatorname{E}[G_n] < \operatorname{E}[X]$